sns 2005/2006 #5

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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bruno222
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sns 2005/2006 #5

Messaggio da bruno222 » 15 lug 2007, 21:58

chiedo il vostro aiuto per risolvere questo esercizio dell'ammissione sns 2005/2006

Sia $ \var f(x)=\(x^2+ax+b $ con a,b numeri reali

1) Mostrare che esiste $ \(x_0 $ nell'intervallo [-1,1] tale che │f(x)│≥1/2.
2) Mostrare anche che, se │f(x)│≤1/2 per ogni x nell'intervallo, allora $ \var f(x)=\(x^2-1/2 $.

vi ringrazio in anticipo per le risposte.............

pic88
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Messaggio da pic88 » 16 lug 2007, 13:35

Allora, la cosa è una parabola con verice in $ -a/2; -3/4a^2+b $, ed assume negli estremi di [-1,1] i valori $ 1+a+b $ e $ 1-a+b $.

L'ampiezza massima dell'intervallo delle immagini in [-1;1] è

$ max\{|(1+a+b)-(1-a+b)|,|(1+a+b)-(-3/4a^2+b)|, $$ |(1-a+b)-(-3/4a^2+b)|\} $
$ =max\{|-2a|,|-3/4a^2+a+1|,|-3/4a^2-a+1|\} $

e si vede che tale ampiezza è maggiore o uguale a 1, allora l'intervallo non può essere contenuto in [-1/2;1/2].

EDIT(grazie Zok): Si osservi che la condizione affinchè il vertice sia in [-1,1] è che |-a/2|<1, se non è soddisfatta si ha che |2a|>1 e ci siamo.
Ultima modifica di pic88 il 17 lug 2007, 13:08, modificato 1 volta in totale.

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jordan
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Messaggio da jordan » 16 lug 2007, 19:38

si puo anche notare molto piu semplicemente che tale funzione è la traslata di y=x^2 da cui le tesi..

ciao

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