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Ok, certamente. Wlog è semplicemente una sigla, significa "without loss of generality", cioè "senza perdita di generalità": posso dire che $p=19$ senza perdere la generalità perché alla fine mi basta cambiare e ricordarmi di mettere $q=19$ e $r=19$. Si dice "$a$ è congruo a ...

Si deve avere che \[pqr=19(p+q+r).\] Osserviamo modulo $19$. Allora $pqr\equiv0$, quindi uno (ed esattamente uno) dei tre primi è $19$. Wlog sia $p$. \[qr=19+q+r \Rightarrow q=\frac{19+r}{r-1}=1+\frac{20}{r-1}.\] Quindi si deve avere che $r-1\mid 20$. Quindi, i valori positivi che può assumere $r$ s...

Ah, ok, grazie mille, e scusate... :( avevo capito male la consegna... quindi il rapporto può essere il quadrato di un qualsiasi razionale? Si mette male, allora... Dunque, dovrei fare una roba del genere: \[(x^2+2y^2)s^2=(2x^2+y^2)t^2 \Rightarrow x^2(s^2-2t^2)=y^2(t^2-2s^2)\] con $x,y,t,s \in \math...

Aspetta, non capisco. Io dico questo: supponiamo che ci siano $x$ e $y$ in $\mathbb{Q}^+$ tali che il rapporto in questione è un quadrato perfetto, e che $x\neq y$. Allora, scrivendo $x=m/n$ e $y=p/q$ devo avere che $mq$ e $np$ rispettano il fatto che il rapporto \[\frac{(mq)^2+2(np)^2}{2(mq)^2+(np)...

Ho dimenticato il caso $y\le x$... :-( ero di fretta e me lo sono scordato. Poniamo $x\mapsto a+b$ e $y\mapsto a$ con $b\ge0$. Allora si ha che \[\frac{3a^2+b^2+2ab}{3a^2+2b^2+4ab}\] dev'essere un quadrato perfetto. Però notiamo che il denominatore (quello sotto) è maggiore del numeratore (quello so...

(Ho tolto lo $0$ dalle ipotesi perché sembra poco vero ;) ). Restringiamo un po' le ipotesi, da $\mathbb{Q}/\{0\}$ a $\mathbb{N}/\{0\}$. Difatti, consideriamo $x=m/n$ e $n=p/q$, e ci rimane da dimostrare la tesi con $x\mapsto mq$ e $y\mapsto pn$. Quindi, se dimostriamo la tesi per $x,y\in\mathbb{Z}/...

Se volete mi offro per l'88 (?!), ho già tre soluzioni fatte in $\LaTeX$ e non mi sarebbe di molto disturbo risolvere e scrivere gli altri (così, tanto per avere qualcosa da fare...). Più che altro, ci sono in giro i testi e/o le soluzioni della gara dell'85? Perché da quanto ho visto in giro dovreb...

Provo a scrivere anche la mia soluzione, poi mi dite se è giusta :wink: Guardo tutto $\pmod{17}$, e ottengo che $p\equiv0$, quindi $p=17$. Be', c'è la soluzione ovvia $(1,1,17)$. Ora divido tutto per $17$ e mi rimane \[17^{b-1}=\sum_{i=1}^{a} 2^{a-i}\cdot 19^i.\] Da questo sempre $\pmod{17}$ ottengo...

Auguri a tutti! Buon $\pi$-Day!

In che senso? Il polinomio $Q(x)$ è stato definito come $P(x)-x$ (sì, è vero, mancavano i due punti in "$Q(x):=P(x)-x$", ma non siamo così fiscali)...

Ok, stando a griglia ne ho fatti sette giusti nella prima parte (quindi 35 punti) più poi i 30 dei dimostrativi 15 e 17, che ho fatto completi. Dai, l'anno scorso sono passato con 61, non dovrebbe essere male... Davvero li correggono solo se fai almeno 30 punti? Qual è stato il cutoff nel tuo distre...

Be', per quanto concerne le crocette le ho trovate decisamente più difficili degli anni scorsi, ma non concordo nel fatto che fossero la 9, la 10, la 11 e la 13 le più difficili, bensì quelle di geometria... terribili! Vabbè poi problema 15 facile facile, problema 17 molto bello e molto facile anche...

Lo metto sotto spoiler:

Ci provo per induzione sugli indici. Passo base: $f_0(x)$ è concava. La derivata seconda di $f_0$ è \[f_0''(x)=-2,\] quindi sono a posto. Passo induttivo: mi basta dire che se $f_i(x)$ è concava, allora lo sono anche $f_i(x^2)$ e $f_i(2x-x^2)$, e che se lo sono queste due lo è anche $f_{i+1}(x)$. Qu...

Boh, ci provo. Sia $n$ il numero di feste ogni giorno. Ogni giorno ci sono dunque $\frac{2n}{11}$ persone che compiono gli anni, poiché ogni persona è invitata a $33$ feste e ci sono in totale $6\cdot n$ invitati. Osserviamo intanto che siccome tale numero è intero, $n$ è multiplo di $11$. Ogni gior...