OliForum Matematico

kn ha scritto:... qua un problema di lilceng più forte...

Jordan non scrive più su questo forum.

Idea: scontata, ma chissà se porta alla soluzione: un generatore non è un residuo quadratico

ps. postato da hitleuler se non erro.

ps2. oltre che infiniti, si potrebbe aggiungere che anche la somma dei reciproci di questi diverge

Ancora non leggo le tue, comunque è troppo conosciuto: se x non è 0 allora x può essere espresso come prodotto di due interi solo in un numero finito di modi. Ma 3b=4 ((2^x)a+b)-(2^(x+2)a+b) quindi prodotto di due interi, in infiniti modi; per cui a=0.

kn ahahahah. Sapevo già che conoscevi il problema, anche perchè è stato già postato su questo forum una versione simile (da piever?), lascia al più qualche giorno, poi posta la soluzione

Ps. A chi non piace la soluzione del 77 esiste anche la soluzione grezza "contando" i primi.

L'unica che ti può sembrare non intuitiva è che \displaystyle \prod_{k=1}^{p-1}{k^{p-k}}=\prod_{k=1}^{p-1}{k!} che è anche uguale a \displaystyle \prod_{k=1}^{p-1}{(p-k)!} , ma basta che ci pensi un attimo :wink:

Problema 78 . Mostrare che esistono infinite coppie di interi positivi coprimi x,y ...

Problema 77. \displaystyle~\prod_{k=1}^{p-1}k^{2k-p-1} è intero per ogni \displaystyle~p primo

Soluzione problema 77 . \displaystyle \prod_{k=1}^{p-1}{k^{2k-p-1}}=\prod_{k=1}^{p-1}{\frac{k^{k-1}}{k^{p-k}}}\cdot \left(\prod_{k=1}^{p-1}{\frac{k^{p-k}}{k^{p-k}}}\right) =\displaystyle \frac{(p-1 ...

Esattamente la tua definizione: viewtopic.php?t=8138&highlight=mersenne o viewtopic.php?t=8153&highlight=mersenne ; comunque si, va bene tutto: buona giornata

Potresti riscrivere il passo 3, disabilitando HTML? Comunque le idee ci sono tutte, anche se io non avevo osservato che era una sequenza di mersenne; in ogni caso spero di sia piaciuto. Poi vai con il prossimo

Soluzione problema 75 . Per ogni x\in \mathbb{Z} vale (10+60x^3)^3+(10-60x^3)^3+(-60x^2)^3+(-1)^3=1999 .

Problema76. Sia definita la sequenza a_1=1, a_{n+1}=a_n^4-a_n^3+2a_n^2+1 per ogni intero positivo n . Mostrare che esistono infiniti primi che non dividono nessun termine di suddetta sequenza.

Claudio. ha scritto:Determina tutte le triplette intere positive $ $(x,y,z) $ con $ $x\le y\le z $ che soddisfano:
$ $xy+yz+xz-xyz=2 $

Dato che $ x\le y\le z $ allora $ \displaystyle 1<1+\frac{2}{xyz}=\sum_{cyc}{\frac{1}{x}}\le \frac{3}{x} $ per cui $ x\in \{1,2\} $. Credo sia più veloce oltre che più intuitivo

E' teoria dei numeri, ma se lo ritieni opportuno spostalo pure in mne

Sia n>1 un intero fissato, e f(n) il numero di modi possibili in cui può essere espresso come somma di quadrati. Siano anche a(n) il numero di divisori di n della forma 4m+1, e b(n) il numero di divisori di n della forma 4m+3.

Dimostrate che f(n)=4[a(n)-b(n)].