OliForum Matematico

Ciao! Ti rispondo al 3 perché anche io con i polinomi non sono così bravo , spero che sia giusto: Chiamiamo $ S=a+b+c+d $ $ P=abcd $ $ Q=ab+ac+ad+bc+cd+bd $ $ R=abc+bcd+cda+dab $ Intanto $ (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(a+d+b) $ diventa $ (S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $ , aprendo i conti abbiamo : $ abcd-abcS-abdS+ab...

Diciamo che il propositore l'ha risolto con uno dei cannoni sopra menzionati con tanto sudore :roll: , l'unica soluzione olimpica che ho visto non è affatto carina (e non ho neanche controllato per bene se funziona :lol: ) ed è: "Buffalo's way", chiamata anche "ordino le incognite wl...

Drago96 visto cosa hai scritto nell' hint la tua soluzione è quella che pensavo io , dopo tutto credo sia la più semplice, ci sono vie significativamente diverse?

Ho capito l'errore hai ragione adesso cerco un'altra soluzione, magari anche giusta sarebbe carino haha

Per $x,y,z$ reali positivi con $ xyz=1 $ dimostrare che:

$ \sum{\frac{1}{y^2z^4+x^2z^4}}\ge{\frac{3}{2}} $

Qualcosa non va con quest'ultima dimostrazione: tu passi dal fatto che \[ A \geq \frac{(a+b+c)^2}{2 \left( (a+b)^2+(b+c)^2+ (c+a)^2 \right)}, \] ma a questo punto hai già perso: infatti per $a=1/\varepsilon^2, b=c=\varepsilon$ (dove $\varepsilon$ è un numero positivo molto piccolo) il membro di des...

Dopo avere visto un po' di vostre dimostrazione vi metto la mia :D Chiamiamo $ A=\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3} $ , dobbiamo dimostrare $ A\geq\frac{3}{8} $. Da Holder abbiamo $ A[(a+b)+(b+c)+(c+a)][(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]\geq(a+b+c)^3 $ quindi $ 2A(a+b+c)[(a+b)^2+(b+c)...

La mia soluzione sembra completamente diversa dalla vostra

Ti rispondo con un esempio: con a,b,c reali positivi ; $ abc=1 $ ; $ (a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\ge{k} $ trova $ k $ tale che sia sempre verificata. Se prendi $ a=b=c=1 $ ottieni $ k=1 $ che non è assolutamente vero anzi $ k=1 $ è il contrario , il massimo! Infatti questa: $ ...

Siano $ a,b,c\ge0 $, dimostrare che $ \frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3}\ge{\frac{3}{8}} $

Guarda grazie mille per la risposta, veramente completa e molto utile , dopo proverò a pensarci un po' con Schur e sue dimostrazioni

Giusto hai ragione scusa, comunque come si concluderebbe in un bel modo $ a^3+b^3+c^3\ge{a^2+b^2+c^2} $ con $ abc=1 $ ?

Risposta a fhp: intanto scusa perché sono andato direttamente alla pagina 3 senza riguardare il testo e me lo ricordavo male, comunque oltre al riarrangiamento si può fare anche così credo: da AM-GM--> $ a^3+a^3+b^3\ge{3a^2b} $ ; $ b^3+b^3+c^3\ge{3b^2c} $ ; $ c^3+c^3+a^3\ge{3c^2a} $ , sommandole tut...

Altra soluzione:
da AM-GM abbiamo $ a^2b+b^2c+c^2a\ge{3abc} $ , sommandola con l'ipotesi e semplificando rimane da dimostrare che $ a^3+b^3+c^3\ge{a^2b+b^2c+c^2a} $ , ma è vera per Muirhead poichè $ (3,0,0) $ maggiorizza $ (2,1,0) $.

scusate il disturbo, potrei sapere a quanto era la sufficienza di punteggio nei problemi di ammissione?