OliForum Matematico

Ed ecco, con ben meno di una settimana di ritardo, il resoconto ufficiale di Archimede alcolico organizzato dal primo anno della Classe di Scienze (in caso ce ne siano stati altri a nostra insaputa).

Nel più rigoroso rispetto della tradizione (le cui origini si perdono nella nebbia del passato), i ...

Xamog ha scritto: .. già, e la seconda purtroppo è suonare il clakson

A detta di ITA2 si tratta di un'attività assai diffusa non solo tra gli albanesi, ma anche tra gli smemorati (e non perfettamente normali) ospiti dei motel pieni...

Questo problema è più insidioso di quanto possa sembrare, cosa di cui molti aspiranti partecipanti si renderanno presto conto.
Una soluzione completa prevede infatti che si dimostri:

che la distribuzione proposta viene accettata (cioè che il bambino più grande ottiene almeno il 50% dei voti se ...

Consideriamo la seguente generalizzazione.
Sia $n$ un intero positivo, e sia $x_0\in[1;+\infty)$ fissato. Determinare, al variare di $1\le x_n\le\ldots\le x_1\le x_0$, il massimo valore di
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac ...

Non sono sicuro di capire l'obiezione (il che non implica che quello che ho scritto non sia sbagliato).

$x_n$ puoi vederla come una funzione $\mathbb{Z}^+\to\mathbb{R}^+$, e ad esempio possiamo definirla come: $x_n=$ un qualsiasi razionale compreso fra $x+\frac{1}{2^n}$ e $x+\frac{1}{2^{n-1}}$. A ...

In realtà, una volta svolto il lavoro di erFuricksen direi che si è a buon punto.

Supponiamo quindi di aver già scoperto che $g(q)=\lambda q$, dove $\lambda = g(1)$ e $q\in\mathbb{Q}$.
Prendiamo un $x$ qualunque, e dimostriamo che $g(x)=\lambda x$.
Sia $\{x_n\}_{n>0}$ una successione di razionali ...

Dato che oramai l'abbiamo tirata in ballo, questo sarebbe il modo giusto di usare la libreria:

Come al solito $P(x, y)$ è l'asserzione
$$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$$

$(1).$ Da $P(0, x)$ si evince $f(f(0)+x)=f(f(x))\quad\forall x$

$(2).$ Da $P(x, 0)$ si evince $f(f(x))=2x+f(f(0)-x)\quad\forall x$

$(3).$ Da $P(x, -f(x))$ si evince $f(0)-2x=f(f(-f(x))-x)$, da cui $f$ è surgettiva.

$(4 ...

Direi che va bene (a parte la strana tendenza a chiamare $LHS$ qualsiasi cosa)
Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte.

Mmh sì, in effetti è passato un po' tanto tempo.
Inizierò a mettere hint sempre più corposi distanziati nel tempo.
Cominciamo con una cosa abbastanza banale.

Hint 1
Se metto $a_1=\ldots=a_n=1$ cosa ottengo? Sarà mica quello il valore giusto di $C(n)$?

PS: ho aggiunto nell'OP una ...

In realtà tu hai dedotto $|f(x)-x|=1$ per ogni $x$, il che ti dice solo che $f(x)=x+c_x$ con $c_x\in\{-1,1\}$, ma non che $c_x$ sia uguale per ogni $x$; quindi, a priori, sarebbe possibile che $f(0)=1$ e $f(2000)=1999$; per scartare questa possibilità ti consiglio di sostituire
$x\leftarrow0,y ...

erFuricksen ha scritto:Ma non ha senso, allora l'insieme $ \mathbb{N} ^2 $ è completamente identico a N, visto che ogni numero in N può essere scritto come prodotto di due numeri in esso

$A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}$
Dunque $\mathbb{N}^2=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ è l'insieme delle coppie di naturali.

L'equivoco (suppongo) nasce dal fatto che $\mathbb{N}^2$ non è l'insieme dei quadrati perfetti, ma bensì l'insieme $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$.

Quella prima è corretta, ma non mi è chiarissimo come fai a ricondurti sempre al caso $(n,m)=1$; se potessi essere un poco più esplicito...

Propongo la seguente generalizzazione.
Dati $n,m$ interi positivi, dimostrare che esiste sempre un $k$ intero positivo tale che
$$
n\mid m^k+k
$$