OliForum Matematico

Comunque si finisce così, manca poco! :)

Non so se quest'altra è giusta, ma mi torna più o meno ed è un pochino diversa. Potete dare un parere (vedere se è giusta) se volete.

Sia k il numero totale di archi presenti in G.

LEMMA 1
Posso considerare wlog G connesso.
Dimostrazione: se non lo è, le ...

Bene bene... Proviamo a rifarci dopo un pessimo test finale...

Lemma 1 : H_1 si trova sulla circonferenza circoscritta ad ABC :
Per dimostrare questo fatto noto si può (brutalmente) dire che la circonferenza circoscritta ad ABC si può ottenere dalla circonferenza di Feuerbach (di ABC ) mediante ...

è presto per un up!? Pazienza...
Fra un paio di giorni metto un hint!

EvaristeG ha scritto:Forse un grafo finito (anche se probabilmente per molti sta dentro la definizione di grafo)

Sisi, finito!

Sia G un grafo tale che la valenza/il grado di ogni vertice (il numero di archi uscenti da ogni vertice) sia maggiore o uguale a 3. Allora G contiene almeno un ciclo di lunghezza pari.

Sia ABC un triangolo acutangolo di ortocentro H, sia M il punto medio di AC. Sia C_1 su AB il piede dell'altezza con vertice in C e sia H_1 il simmetrico di H rispetto ad AB. Siano P, Q, R le proiezioni di C_1 rispettivamente su AH_1 , AC e BC. Infine sia M_1 il punto tale che il circocentro del ...

Scusa, è giusta, vai pure.

Sia P il punto medio di CH, Q il punto in cui CH interseca \Gamma . Dato che ABC è isoscele, CH è anche asse di AB, quindi CQ è diametro di \Gamma . Per Euclide si ha che CE^2 = CP \cdot CQ = \frac{CH}{2} \cdot 2r = r \cdot CH . Ora, sempre per Euclide, CA^2 = 2r \cdot CH e quindi AB^2 = 4(CA^2 - CH ...

Provare che $ d((n^2+1)^2) $ non diventa (strettamente) monotona da un certo $ n \in \mathbb{N} $ in poi. (definitivamente)

P. S. $ d(n) $ indica il numero dei divisori interi positivi di n

IMO 1992/1... vai col prossimo!

Siano A, B, C, D punti distinti su una retta, in quest'ordine. Le circonferenze di diametro AC e BD si intersecano in X e Y. O è un punto arbitrario sulla retta XY, ma non è un punto di AD. CO interseca la circonferenza di diametro AC in M, e Bo interseca la circonferenza di diametro BD in N ...

Direi che la dimostrazione del lemma è sbagliata

noi abbiamo che V_p(x^n) \geq p
Abbastanza falso...
Al massimo $\upsilon_p(x^n)=n\cdot\upsilon_p(x)\ge n$ se $\upsilon_p(x)\ge1$

Avevo specificato che p doveva dividere x. Ora, se p non divide n (cioè p è maggiore di n) quello che dice il lemma ...

Non è molto elegante, ma non è nemmeno tanto lunga in conti, anzi. Allora, abbiamo per il teorema dei seni che:
\displaystyle \sin{(BAP)}=\frac{BP \cdot \sin{(ABP)}}{AP}=\frac{a \cdot \sin{(45 + \beta)}}{\sqrt{2} \cdot AP}
\displaystyle \sin{(PAC)}=\frac{CP \cdot \sin{(ACP)}}{AP} = \frac{a \cdot ...

Nel caso a-b=1 (escludo b=0, b=1, b=2 che già so che mi danno una soluzione, rispettivamente n=1, n=5, n=13) e quindi a=b+1 si ha che b-1 è minore di \sqrt{n} . Ora esso è coprimo con b, quindi si deve avere necessariamente che i primi che dividono (b-1) dividono anche (b+1). Questo può accadere ...

Premetto il seguente lemma.
LEMMA
Per ogni p primo dispari si ha che V_p(x^n)>V_p(n!) se p divide x
Dimostrazione: noi abbiamo che V_p(x^n) \geq n . Inoltre, per un k abbastanza grande, si ha:
\displaystyle V_p(n!)=\sum_{i=1}^{+\infty}{\lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor}=\sum_{i=1}^{k}{\lfloor \frac ...