C'è meno gusto ora che hai messo l'hint XD Potevi aspettare un altro po', erano passati solo 2 giorni ;) Comunque, bel problema. Per prima cosa, noto che tutti i radicandi devono essere quadrati perfetti. Infatti sia $z$ l'espressione del testo: affinchè $z \in \mathbb{Z}$ (tanto se è razionale è pu...
Lemma: siano $p,q > 3$ due primi distinti. Allora esiste un generatore modulo $p$ coprimo con 3 e $q$. Dim.: sia $g_0$ un generatore modulo $p$. Considero il seguente sistema di congruenze: \[ \left\{ \begin{array}{l} g \equiv g_0 \pmod p \\ g \equiv 1 \pmod q \\ g \equiv 1 \pmod 3 \end{array} \rig...
Se ho capito il tuo dubbio, la congruenza originale era modulo $p^2$: proprio perchè $\displaystyle \gcd \left({p \choose j}, p^2 \right) = p$, ho semplificato un fattore $p$ dalla congruenza, passando da modulo $p^2$ a modulo $p$.
Lemma 1 : se $j <p$, vale $\displaystyle {p \choose j} {{p+j} \choose j} \equiv {p \choose j} \pmod {p^2}$. Dim.: per $j=0$ si verifica essere vero. Altrimenti, semplifico dai due membri della congruenza $\displaystyle {p \choose j}$, a patto di passare da modulo $p^2$ a modulo $p$: questo perchè $...
Nel G3, se AB = AC abbiamo i punti A', M, Q allineati, T che va all'infinito etc... Non serve che il triangolo di partenza non debba essere isoscele su quella base? Oppure possiamo dire che sono conciclici sulla circonferenza all'infinito ...?
Per $x=1$, otteniamo $\varphi(a) =1$, da cui le soluzioni $(a,x) = (1,1);(2,1)$. Sia ora $\displaystyle x =2^{\beta} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot ... \cdot p_k^{\beta_k}$, dove i $p_i$ sono primi dispari; il testo diventa \[ \varphi(a \cdot 2^{\beta} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot ... \cdot p_k^{\beta_k}) =...
Occhio ai coefficienti negativi: se hai $f(x) = x-1$, ottieni 9, 99, 999... , che non hanno la stessa somma delle cifre!
Edit: Jordan, sei troppo veloce XD