OliForum Matematico

Ecco i problemi di geometria!

E dopo l'Ungheria quest'anno è la Slovenia la fortunata destinazione del team EGMO!

La squadra italiana è la seguente:
ITA1 Benedetta DEMORO
ITA2 Alice DRERA
ITA3 Elena GHILARDI
ITA4 Matilde IANNACCONE

accompagnate da:
ITA5 Veronica SACCHI
ITA6 Linda FRISO

Seguiteci per un EGMO diario di anno in ...

Ecco anche geometria!

Ciao! C e D appartengono alle rette sui cui giacciono PA e PB, rispettivamente mentre M sta tra A e B.

Io ho fatto i problemi per il Winter Camp ma non li ho inviati per scelta personale, per non perdere un'opportunità importante che mi si è presentata e che avrei certamente perso partecipando al Winter.
Quindi non ho provato per scelta personale, non per motivi legati a olimpiadi, ammissioni ...

7.1

Se abbiamo $a,b,c\in\mathbb{R}$ sicuramente ce ne sono 2 tra questi entrambi $\geq 1$ oppure $\leq 1$. Senza perdita di generalità (la disuguaglianza è simmetrica) diciamo che sono $b,c$. Quindi $(1-b)(1-c)\geq 0$.
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2+2abc+1 - 2(ab+bc+ca)&=a^2-2a+1+2a+b^2-2bc+c^2+2abc ...

7.2

Dimostriamo che $0\leq ab+bc+ca-abc$.
Sicuramente almeno uno tra $a,b,c$ dev'essere $<1$: se così non fosse avremmo $a^2+b^2+c^2+2abc\geq 5>4$, assurdo. wlog diciamo $a<1$.
$ab+cb+ca-abc=ab+ca+bc(1-a)$ ed essendo $a,b,c>0$ e $1-a>0$ allora $ab+bc+ca-abc=ab+ca+bc(1-a)\geq 0$
Dimostriamo ora ...

Lemma: Dato un quadrilatero $ABCD$ con $I$ e $J$ incentri rispettivamente di $\triangle ABC$ e $\triangle ADB$, questo è circoscrivibile se e solo se $IJ\bot AC$.
Dimostrazione: Siano $E,F$ le proiezioni su $AC$ rispettivamente di $I$ e $J$.
Sicuramente $IJ\bot AC$ se e solo se $E\equiv F ...

Nemmeno provato in sintetica, dunque baricentriche su $\triangle ABC$!
$A=[1:0:0]$, $B=[0:1:0]$, $C=[0:0:1]$, $I=[a : b : c]$
Detto $2s=a+b+c$, $D=[0:s-c:s-b]$
Chiamiamo $Y$ l'intersezione diversa da $A$ di $AM$ con $\Gamma$. Vogliamo mostrare che $X,D,Y$ sono allineati.
La retta $AM$ è $y-z=0 ...

Sbaglio o tipo per $a=b=2$ non funziona?

Diario Olimpico - Giorno 6

Eccoci giunti all'ultima puntata dell'EGMOdiario, ancora una volta in ritardo causa stanchezza accumulata ma questa volta pIeno di perle.
In programma c'era una faticosa, lunga e stancante gita al monte Rigi, che le contestants avrebbero dovuto in parte scalare ...

Diario Olimpico - Giorno 5

Con il solito ritardo che contranddistingue la squadra italiana, ITA1, ITA2 e ITA3 arrivano all'appuntamEnto clandestino mattutino con la Guida Vale: ITA4 è riuscita a corromperla con un macaron per evitare il controllo della nazista e scappare in centro (questa è pur ...

Diario Olimpico - Giorno 4

Come se la tensione accumulata per il day 2 non potesse bastare, i nazisti svizzeri organizzano una "piaceVole camminata" sull'Uetimberg, una collina che a giudicare dalla pendenza potrebbe sembrare l'Everest. Le prodi sono costrette a scalarla sotto il sole e da valle a ...

Diario Olimpico - Giorno 3

Il giorno tanto atteso e temuto è finalmente arrivato: le Combattenti vengono deportAte con efficienti mezzi pubblici al luogo della gara, dove le hanno assalite ansia, curiosità e voglia di mettersi a fare la gara. La stanchezza purtroppo si faceva sentire perché le ...

Diario Olimpico - Giorno 2

Dopo l'enorme successo meDiatico della prima giornata, ecco il diario olimpico del giorno 2!
Il programma prevede la Scavenger Hunt, a causa della quale ITA1 e ITA2 sono costrette a separarsi dalle compari per tentare di socializzare con due team amebici: quello ...