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$\sum_{k=1}^{2019}(-1)^{k+1}\binom{2019}{k}(2019-k)3^{2019-k}=-3\cdot 2019\cdot \sum_{k=1}^{2018}\binom{2018}{k}\cdot 3^{2018-k}(-1)^k=-3\cdot 2019\cdot ((3-1)^{2018}-3^{2018})=3\cdot 2019\cdot (3^{2018}-2^{2018})\equiv 3\cdot 2019\cdot (489-2144)\equiv 5665$ mod $10^4$

(infatti per CRT si ha $3 ...

siano $D,E,F$ le intersezioni di $AH,BH,CH$ con la circoscritta a $\triangle ABC$.
Siccome è noto che $D,E,F$ sono i simmetrici di $H$ rispetto a $BC,CA,AB$ si ha che i triangoli $HBD,HCD,HCE,HAE,HFA,HFB$ sono isosceli, per cui $CD=CH=CE$ e $BD=BH=BF$. Quindi $D,E\in\omega_2$ e $D,F\in\omega_1 ...

scambret ha scritto: 01 ott 2019, 22:02 Sono contento di questo successo (inaspettato) - dovrei riprendere questo filone?

Sarebbe fantastico!

Bonus: dimostrare che $B_1C_1$, $AA_4$ e la perpendicolare a $B_1C_1$ passante per $A_1$ concorrono

Premetto che non è la soluzione più bella, ma dopo averci provato un po' in proiettiva mi sono arreso :roll:


$A=[1,0,0]$, $B=[0,1,0]$, $C=[0,0,1]$, $I=[a,b,c]$. Si ricava facilmente che:

$A_1=[0,p-c,p-b]$ , $B_1=[p-c,0,p-a]$, $C_1=[p-b,p-a,0]$ dove $p=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}$

$A_2$ può ...

Feat. Almagià
O altrimenti:
Date due terne di punti non allineati $(X,Y,Z)$ e $(X_1,Y_1,Z_1)$, esiste un'affinità che manda $X$ in $X_1$, $Y$ in $Y_1$ e $Z$ in $Z_1$, per cui esiste un'affinità $\psi$ che manda $A$ in $A'(0,4)$, $B$ in $B'(-1,0)$ e $C$ in $C'(2, 0)$. Dato che le affinità conservano ...

Trovare tutte le coppie di interi positivi $m,n$ tali che

$$ 2^n+(n-\phi(n)-1)!=n^m+1 $$

Consideriamo $a$ dispari, altrimenti $2|x_n$ $\forall n$.
Per $a=1$ otteniamo i numeri di Fermat, e $x_5$ non è primo. Studiamo quindi $a\ge 2$.
Consideriamo ora $m$ tale che $\displaystyle 2^{m}>a$ e analizziamo i possibili fattori primi di $x_m$:

siccome $a\not\equiv 1$ mod $2^m$ in quanto $2^m>a ...

Bel problema! Posto una soluzione in coordinate:

$O =(0,0)$ il centro di $\omega$, $A=(-1,0)$, $B=(1,0)$, $H=(h,0)$, $D=(h,d)$ e $\omega: x^2+y^2=1$

Dalle proprietà dell'inversione ricaviamo $\displaystyle{H'=\left(\frac{1}{h},0\right)}$

Si tratta ora di ricavare $E$: esso è l'intersezione tra ...

Hint 1: prova a tenere costante la somma $x+y$ e vedere come cambia il risultato quando cambi $x$ e $y$

Hint 2: induzione

Soluzione completa: Sia $\displaystyle{I_n=\lbrace \frac{n^2+n}{2}, …, \frac{n^2+3n}{2}\rbrace}$.

Dimostriamo per induzione sulla somma $x+y$ che $f(\varepsilon;n ...

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo scaleno. $D,E$ sono punti sui lati $AB,AC$ rispettivamente e tali che $BD=CE$.
Siano $O_1,O_2$ i circocentri dei triangoli $ABE$ e $ACD$ rispettivamente.
Dimostrare che le circonferenze circoscritte ai triangoli $ABC$, $ADE$, $AO_1O_2$ hanno un punto in comune oltre ...

Siccome i simmetrici dell'ortocentro rispetto ai punti medi dei lati del triangolo stanno sulla circoscritta, si ha, detti $H_1,H_2$ i simmetrici di $H$ rispetto a $M,N$, che $HH_1\cdot HP=HH_2\cdot HQ$ per il teorema della corda.
Questo implica $2MH\cdot HP=2HN\cdot HQ$ e quindi $HM\cdot HP=HN\cdot ...

Complessi con $\circ ABCD$ circonferenza unitaria, quindi $\displaystyle{\overline{a}=\frac{1}{a}}$.

$\displaystyle{E=\frac{b+c}{2}}$

$\displaystyle{AB: \frac{z-a}{\overline{z}-\overline{a}}=\frac{a-b}{\overline{a}-\overline{b}}=-ab}$ quindi $AB: z=-ab\overline{z}+a+b$

$CD: z=-cd\overline{z}+c+d ...

Siccome $(a_i)$ e $(b_i)$ sono sequenze finite, allora esiste sicuramente $M=\max\lbrace a_i, b_i\rbrace$.
Ora $M\in (b_i)$ in quanto, se non vi appartenesse, allora si avrebbe $M\in(a_i)$, ma questo è assurdo in quanto scegliendo $k=M$ si ha che il numero degli $a_i$ divisibili per $M$ è uno ...

Chiedevo proprio perché avevo il problema della somma a $+\infty$, per il resto la mia soluzione è uguale