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Chiamiamo \Phi(x) la trasformazione data dalla composizione dell'inversione di centro A e raggio r=\sqrt{bc} e la simmetria rispetto alla bisettrice di \widehat{BAC} . Come è noto \Phi(AB)=AC e \Phi(AC)=AB , \Phi(B)=C e \Phi(C)=B . Dunque, poiché l'inversione manda circonferenze per il centro in re...

Sia [math]ABC un triangolo con incentro [math]I. Siano [math]D il piede della perpendicolare da [math]I a [math]BC e [math]P il piede della perpendicolare da [math]I a [math]DA. Dimostrare che [math]\angle BPD=\angle DPC.

Domanda che si candida a essere la più stupida dell'anno: alla fine del problema N3 c'è una virgola; è un typo o ci sarebbe dovuto essere un altro pezzo di problema alla fine?

Ci riprovo... Poiché O appartiene all'asse di BC , OM è perpendicolare a BC e dunque parallela ad AP . Quindi ci basta mostrare che AP=OM . Per quanto detto nel post precedente, abbiamo che, detto Q il circocentro di ABC , QM=AP . Dimostreremo dunque che QM=OM . Per angle-chasing (qui salto un po' d...

Hai ragione, la forza dell'abitudine...
Ora provo il vero problema allora

Sia N il centro della circonferenza di Feuerbach di ABC . Sappiamo che N è punto medio di OH ; inoltre, abbiamo che, detto D il piede dell'altezza uscente da A , M, D e P appartengono alla circonferenza di Feuerbach di ABC e \angle MDP=90 , da cui segue che M e P sono diametralmente opposti e che N ...

Me ne scorderò sicuramente un sacco, comunque ecco la mia lista: -Il teorema dei quattro colori, famoso perché è la cartina del Benelux -il fascino delle lezioni alla lavagna con il gesso (tutta colpa dei ciclotomici) -imparare finalmente a giocare a contact in trenta di notte a piazza del duomo -Co...

Buonasera, nella lettera dello stage c'è scritto di portare una copia stampata dell'eserciziario a Pisa, è stato già pubblicato?

In un triangolo ABC sia \omega l'ex-cerchio opposto al vertice A e siano D, E, F i punti di tangenza di \omega con le rette BC, CA, AB rispettivamente. La circonferenza AEF interseca la retta BC nei punti P e Q . Sia M il punto medio di AD . Dimostrare che la circonferenza MPQ tange \omega .

Ma i problemi noti per il test finale (oltre agli imo 1 e 4 delle ultime edizioni) cambiano ogni anno o restano gli stessi?

Credo che l'errore sia quando sostituisci [math]cos(2A) con [math]1-sin^2(A) anziché [math]1-2sin^2(A), da lì la formula diventa [math]OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2) che dovrebbe funzionare.

Sia ABC un triangolo con circocentro O . Siano P e Q punti interni ai lati CA e AB rispettivamente. Siano K, L e M i punti medi dei segmenti BP, CQ e PQ rispettivamente, e sia \omega la circonferenza passante per K, L e M . Supponiamo che la retta PQ sia tangente alla circonferenza \omega . Dimostra...

Forse esistono modi più eleganti, comunque: Per la prima freccia basta guardare i residui quadratici mod 4 ; poiché sono solo 0 e 1 otteniamo che a^2-b^2\not\equiv\ 2 mod 4 per ogni a, b interi. Per la seconda freccia osserviamo che per il caso dispari abbiamo 2k+1=(k+1)^2-k^2 mentre per il caso res...

Hai ragione anche tu, modificato di nuovo comunque la soluzione è corretta

Ops... hai ragione, modifico subito