OliForum Matematico

La risposta è affermativa; si tratta di una configurazione molto nota agli appassionati, anche se è un po' avanzata.
Per quanto riguarda la dimostrazione, mi sento di avvisare che quello che scriverò qui sotto esula almeno in parte dal materiale realmente utile per le olimpiadi.

Esiste un
Teorema ...

Alternativamente:

Considera il cerchio dei nove punti di $ DEF $: questo ha sempre due punti in comune con $ \odot(ABC) $ , di certo diversi da $ P,M $.
Questo andrebbe giustificato per bene Cosa succede se questi due cerchi hanno un terzo punto comune?

Non credo che qualcuno controllerà mai i conti, ma sulla fiducia direi che si può passare al nuovo problema.

Per adesso metto qualche suggerimento per il punto a) (con questi si possono costruire molti approcci possibili):
1) La tesi di a) vale anche se si prende un punto P qualsiasi al posto di O
2) Sia A_1B_1C_1 il triangolo antipedale di P : allora...
3) Ricordiamo un fatto interessante: in un ...

Ancora, a grande richiesta:

LEMMA: sia P un punto e O_A,O_B,O_C i circocentri di \odot(BCP) e ciclici. Allora i cerchi \odot(AO_BO_C) e ciclici concorrono in un punto R su \odot(ABC) . Cosa succede se si fa un'inversione + simmetria centrata in A (Che magari scambia vertici e punti medi dei lati ...

Allora, a grande richiesta:

Mi sembra giunto il momento di riesumare la staffetta, visto che nessuno la tocca da ottobre. Se necessario posso anche dare qualche aiutino (basta chiedere).

Mi sembra un buon approccio. L'inizio di una via alternativa è quello di tracciare le tangenti a $ \Gamma $ da $ B,C $ e notare che si intersecano su $ AE $.

Fortunatamente ci sono figure molto esplicative.

Nel caso interessasse una piccola estensione, si può vedere l'ultimo problema qui: http://olympiads.mccme.ru/ustn/resh11ge.pdf.

Per quanto riguarda il punto D , mi sembra abbastanza chiaro che si tratta del punto di intersezione delle trisettrici interne più vicine al lato BC . Il punto P è tale che la retta BP deve essere ruotata in senso orario di +60^{\circ} intorno a B per sovrapporsi alla retta BD , mentre la retta CP ...

Siano dati i cerchi \Omega,\gamma_1,\gamma_2 con \gamma_1 tangente internamente a \Omega e \gamma_2 tangente esternamente a \Omega . Se le tangenti comuni esterne di \gamma_1,\gamma_2 sono r,s , supponiamo che la prima sia tangente ai due cerchi rispettivamente nei punti P_1,P_2 e che incontri ...

Riporto, senza grandi cambiamenti, un bel problema proposto su artofproblemsolving dall'utente TelvCohl:

Sia ABC un triangolo e D quel punto all'interno di esso tale che \measuredangle ABC=3\measuredangle DBC e \measuredangle ACB=3\measuredangle DCB . Siano P,Q quei punti tali che \measuredangle ...

Dato un triangolo $ ABC $ consideriamo i cerchi che hanno come diametro i suoi lati; sia $ \Omega $ il cerchio tangente internamente a questi tre.
Determinare, in funzione dei lati $ a,b,c $ del triangolo, la misura del raggio di $ \Omega $.