OliForum Matematico

Un vecchio problema era questo: "Internamente ad un quadrato ABCD di lato unitario sono dati i punti P_1, P_2,\ldots, P_7 . Dimostrare che fra tutti i triangoli aventi per vertici gli 11 punti nominati almeno uno ha area minore o uguale a S=1/{16} "
Non era difficile: bastava notare che il quadrato ...

Credo che la mia risposta sia sostanzialmente uguale a quella di Dario, ma la riporto egualmente: un po' perchè gia preparata e un po' perchè mi sembra espressa in modo più semplice.
Generalizziamo: i punti P e Q sono separati da una striscia larga h, che va attraversata perpendicolarmente con il ...

Cosa vuol dire "inverso"? Un'inversione per raggi vettori reciproci?

Si ha (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) da cui, tenendo conto del dato iniziale, ab+ac+bc=\frac {(a+b+c)^2-1}2 e poichè un quadrato vale al minimo 0, la somma richiesta vale al minimo -\frac 12 , naturalmente se questo valore è raggiungibile. Lo è, e il modo più semplice per ottenerlo è che una ...

Concordo nel dire che non è un link alla soluzione: infatti l'unica che vi figura è praticamente identica alla mia. Parte da n=0 e dopo qualche passaggio divide per n, commettendo così il mio stesso errore, sia pure in forma più larvata.
Cosa significa LOL?

Giusto, e ci ho pensato anch'io, ma in ritardo. La prima cosa che ho fatto questa mattina è stata collegarmi per segnalare l'errore, ma sei arrivato prima tu. Grazie per l'indicazione della soluzione (anche se è un po' seccante pensare che tutti i problemi che vengono proposti hanno già una risposta ...

Pongo S_n=\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+\ldots}}}
Ne deriva S_n=\sqrt{1+nS_{n+1}} e quindi S_{n+1}=\displaystyle \frac{S_n^2-1}n , formula di ricorrenza che è vera se S_n=n+1 , come si verifica facilmente sostituendo nella formula; inoltre si ha S_0=1 .
La somma richiesta è S_1 , quindi vale 2.

Mi resta una domanda per Stefanos: perchè hai usato questo titolo? Ci sono soluzioni più originali di quelle finora comparse? Bè, le domande sono due.

Pongo x_1=x e x_{i+1}=\frac{x_i-1}{x_i} ; ottengo
x_2=\frac{x-1}x , x_3=\dots=\frac{-1}{x-1} , x_4=\dots=x .
Sostituendo questi valori nella formula data:
f(x)+f(x_2)=1+x
f(x_2)+f(x_3)=1+x_2
f(x_3)+f(x)=1+x_3
Sommo la prima e l'ultima e sottraggo la seconda:
2f(x)=1+x+1+x_3-1-x_2
da cui, a ...

Ringrazio Fede90 per i chiarimenti. Sono d'accordo sul fatto che la frase "funzione inversa" non dovrebbe dare equivoci, ma io mi riferivo al solo aggettivo; sul primo libro di trigonometria consultato leggo "la secante è l'inversa del coseno" e non è sbagliato; non ho proseguito l'indagine.

Non è detto che tu non avessi ragione e io torto; il tuo ultimo intervento ha preceduto la mia modifica di pochi secondi. Ho spesso desiderato una notazione univoca per le potenze delle funzioni; ad esempio, con l'elevazione a -1 mi chiedo sempre se si intenda la funzione inversa o il semplice "uno ...

Per x=1 si ottiene f^2(1)-f(1)+\frac 1 4 \le 0 , cioè [f(1)-\frac 1 2]^2 \le 0 , che può verificarsi solo se f(1)=\frac 12 . Lo stesso ragionamento, con lo stesso valore finale, si ha tutte le volte che x^3=2x-1 e poichè questa equazione ha tre soluzioni reali (scomponete dividendo per x-1), f(x ...

La prima parte penso che sia quasi obbligata: supposto che il quadrilatero sia ABCD e l'angolo noto sia A, ricavi gli angoli di ABD. Non capisco bene la seconda parte: io userei Carnot per ricavare un angolo dai tre lati di BCD e poi il teorema dei seni.

Ho posto tempo fa un problema simile; troverete l'inizio in "Rapporti goniometrici irrazionali" in matematica non elementare e la conclusione in "I seni dei multipli sono diversi" in geometria; sono entrambi stati proposti da me.

visto che ha a che fare con i complessi.. Chiamiamo a_i la sequenza delle sue radici.. CCCS (= Come Complicare Cose Semplici). Presumo che Jordan fosse in vena di scherzare: perchè cercare gli zeri del polinomio? Si ha
(x-1)P(x)=x^7-1 \Rightarrow x^7=(x-1)P(x)+1
e quindi
P(x^7)=[(x-1)P(x)+1]^6 ...