OliForum Matematico

Un'altra dimostrazione, qualcuno mi dice se è sbagliata e dove?

4^x + 4^y + 4^z = n^2

posto n > 1, possiamo scriverlo come un binomio del tipo (m + n)^2

ora Affinchè l'uguaglianza sia vera uno tra i membri in LHS deve essere il doppio prodotto di due quadrati, poichè tutti e tre sono quadrati ...

uhm aggiungiamo qualcosa:
dire se esistono soluzioni intere per:
$ n^2 + (n +1)^2 + (n+ 2)^2 = m^2 $

posto il primo pezzo che è anche il più banale se mi viene in mente altro poi vado avanti. Consideriamo i numeri k\cdot2^{2^n} -1 , k\cdot2^{2^n}, k\cdot2^{2^n} +1 , almeno uno di questi 3 deve essere divisibile per 3 e dunque composto. Dobbiamo stabilire quando tra i tre numeri l'ultimo sia ...

scusa la domanda idiota ma n e k sono da intendersi $ n,k \in \mathbb N $ e n,k > 0 ?

Sia $ n \in \mathbb N, n>6 $. Dimostrare che, se n-1 e n+1 sono entrambi primi, allora $ 720 | n^2(n^2 + 16) $

(Preso dalle BMO di quest'anno)

Posto la mia in attesa di quella di ani che mi è piaciuta anche di più, allora:

2^m= \frac{n^2 -1}{5} , sappiamo che i residui quadratici mod 5 sono 0, 1, -1. Nello specifico il periodo è 0, 1, -1, -1, 1. Dunque ci sono 1 pari e un dispari il cui quadrato mod 5 da resto 1 nel periodo. Per ...

si anche con tartaglia viene carina l'induzione

uhm scusa mi manca la definizione di simmetrica. Me la puoi dire?

EDIT: non è simmetrica, grazie pic

EDIT: vero, scusate. Grazie Alex

Diciamo che " x è intero se esiste quel k che divide 2a^2 ". Quest'ultima affermazione mi pare ovvia, nel senso... a è sicuramente intero, e allora perche la nostra x sia intera k deve essere per forza divisore di 2a^2 ... È che non avendo dati precisi sulla natura di a , non riesco a formulare una ...

Quindi dobbiamo studiare la divisibilità dell'espressione più a destra per risolvere il problema. Abbiamo dunque che x+a deve essere divisore di 2a^2 . Preso un k \in \mathbb{N} , possiamo scrivere la relazione anche come:

\displaystyle x+a= \frac{2a^2}{k} \Rightarrow x= \frac{2a^2}{k} -a ...

Alex89 ha scritto:Poichè nella traccia c'era scritto solo interi, avevo capito(male?) anche per x negativi.

Uhm forse ho misinterpretato io "interi " con $ n \in\mathbb N $. Se così fosse ti chiedo scusa e la mia dimostrazione si può buttare:)

Soluzioni:

1)x=2-a
2)x=0 per ogni a.
3)a=0 per ogni x.
4-5)x=a
6)x=1 a=1 che può essere ricondotto alla soluzione precedente
Le soluzioni devono essere nei naturali:
0 generalmente non è considerato un naturale, la 5) e la 6) sono la stessa cosa(come avevo detto nella mia soluzione x=a), per ...