OliForum Matematico

Azz...tutto quel ben di Dio?
L'avevo postato per trovare una soluzione che non avevo.
A quelle indicate nel link non ci sarei arrivato mai.
Grazie

Sia p un primo >=5
Dimostrare che il numeratore della frazione:
$ \frac{1}{1} + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+..+ \frac{1}{p-1} $
e' divisibile per $ $p^2 $

http://img258.imageshack.us/img258/7784/picea8.png
Una soluzione un po' calcolosa...ma non troppo.
Siano ABC il triangolo,H il suo ortocentro e H' l'intersezione
di BH con la circonferenza circoscritta ad ABC.Come e' noto
H ed H' sono simmetrici rispetto al lato AC (per la dimostrazione ...

Se a,b,c sono le misure dei lati di un triangolo, dimostrare che e':
1) $ a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca) $
2) $ [2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)][\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}]\geq 9 $
Leandro

La prima parte e' un caso particolare del teorema di
Brianchon sull'esagono (esalatero ,per la precisione)
circoscritto ad una conica.
Per la seconda parte penso che si possa ragionare cosi':
Siano AM,BN,CP le 3 ceviane passanti tutte per O.
Dato che una conica e' determinata da cinque condizioni ...

Veramente io ho scritto "variazione subita dall'ordinata
del punto corrente sulla tangente" e non sulla curva
( in tal caso la variazione sarebbe quella che dici tu).
Nel caso mio e' invece proprio $ $dy=f'(x) \Delta x $
come si puo' vedere anche geometricamente.
?
Leandro

Quello che dice Evariste mi sorprende non poco.
Io sapevo che la scrittura dy/dx fosse un rapporto
effettivo e non un mero simbolo.In effetti sarebbe cosi':
$dx= \Delta x = variazione della variabile indipendente
$dy=f'(x)dx=f'(x)\Delta x = variazione subita dall'ordinata
del punto corrente sulla ...

A margine di questo topic vorrei aggiugere anch'io qualche
ulteriore considerazione.Mi sono chiesto se esistesse poi una
condizione particolare che garantisse la presenza di una
circonferenza in un fascio di coniche.
Leggicchiando qua e là ho trovato una regola che mi e' parsa
molto carina ...

E che ci vuole ,non l'ho scritto per dar modo ad altri di postarlo
anche se,a parer mio, il quesito non chiede di trovare esplicitamente
l'equazione della circonferenza ma piuttosto di provare la conciclicita'
delle 4 intersezioni delle 2 parabole.
Ma poiche' s'insiste...
Assumendo come assi ...

Nel fascio di coniche determinato dalle due parabole
esiste una circonferenza che ovviamente passa per i
punti base del fascio che sono poi le intersezioni delle
due parabole.E cio' prova la tesi.Particolarizzando in modo
opportuno le equazioni delle 2 parabole e' possibile
stabilire le condizioni ...

Come ellisse minima (sempre riferendomi al triangolo equiltero) prenderei
quella ridotta ad un'altezza del triangolo che tocca 2 lati nel loro vertice
comune ed il terzo nel suo punto medio.
Quanto all'unicita' del massimo, e' la questione stessa
che la garantisce dato che si tratta di un massimo ...

Parto dal fatto che la massima ellisse inscritta in un
triangolo equilatero e' il cerchio inscritto.Infatti ogni
altra configurazione assegnerebbe a qualche lato del
triangolo un peso diverso ,contro la totale equivalenza
dei 3 lati.
Sia ora ABC (AB=4,AC=3) il triangolo dato ed ABC' il triangolo ...

No !

$ $\frac{2\pi}{3} $ ?
Leandro

Avevo gia' premesso che la mia fosse una divagazione e quindi
di per sè diretta a quelli (e non credo siano poi tanto pochi) che
avessero conoscenze in proposito.Non penso proprio che, dopo
le tue delucidazioni , i restanti forumisti abbiano capito assai di piu'
e non certo per le cose che hai ...