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provo a risolvere il terzo esercizio, anche se di sicuro la mia è una dimostrazione un pò rozza.... però dovrebbe funzionare!

sia da dimostrare che:
\displaystyle \frac a{1 + bc} + \frac b{1 + ac} + \frac c{1 + ab} \leq 2

prima di tutto verifichiamo a manina i casi in cui a, b, c = 0 e in questi ...

mmmm, già l'argomento è complesso, poi in inglese, studiare cose che non ho mai studiato neppure in italiano, è troppo per me. Grazie lo stesso. A questo punto chiedo questo; se in un problema trovo che la differenza di due quadrati è B^2 -1 non posso concludere che questi due quadrati sono ...

è un dubbio che mi è sorto cercando di risolvere un esercizio, forse è una domanda un pò troppo banale ma dato che non ne vengo a capo chiedo a voi;
se X^2+Y^2 = A^2 , dove X,Y ed A sono degli interi, esiste un'altra coppia di interi P, Q dove P Q sono degli interi diversi da X e Y tale che P^2+Q^2 ...

without loss of generality = wlog

ah ekko ok

dev'essermi sfuggito qualcosa perchè a me risulta che esistono infinite copie di punti A' B' presi rispettivamente sul lato AC e BC che risultano tangenti alla circonferenza, e tra questi molti tali che DB < AD .

apparte l'ultima domanda non era un problema difficile. vorrei sapere come avete risolto l'ultima domanda. A me è venuto fuori che la forza di attrito si raddoppia sia in caso di urto elastico sia anaelastico.

finalmente ho capito! però penso che anche te sei 1 po responsabile:
il termine relativo a k=p-1 non è quello che hai scritto te (che difatti non capivo cosa fosse). Poi anche nell'altra sommatoria credo che dovevi mettere il segno a px^{p-1} (anche se in quest'ultimo caso non avevo proprio capito ...

HiTLeuLeR ha scritto:Poiché $ (2^b + 1)^2 = 2^{2b} + 2^{2b+1} + 1 $ , dev’essere necessariamente $ b + 1 \le 2a $

perchè? vuoi dire che $ (2^b + 1)^2 $ è il minore dei quadrati che possiamo trovare ? e se è cosi come lo dimostri?

qualcuno può proporre la sua soluzione di questo esercizio?

ok fin qua ci sono, ma che cos'è quel p^2 x che hai scritto nella tua dimostrazione dicendo che la sommatoria è congrua a p^2 x \bmod p^3 ?
per quanto riguarda la sommatoria precedente ; \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k x^{p-1-k} y^k \equiv px^{p-1} \bmod p^r qui non ho davvero capito.. soprattutto cosa ...

A questo punto basta osservare che, per ogni k = 1, 2, ..., p-1, il termine \displaystyle \binom{p}{k} p^{p-k} x^{k} è divisibile almeno per p^3 . Resta soltanto il termine relativo a k = 0.

forse volevi dire che \displaystyle \binom{p}{k} p^{p-k} x^{k} è divisibile per p^3 per k= 0,1,2,...p-2 e ...

Non ho capito la dimostrazione di hitleuler del lemma 2 a partire dalla penultima sommatoria, in particolare quel "0 congruo a" e tutto ciò che segue, fino alla fine del lemma. Qualcuno potrebbe spiegarmelo ?

anche a me è venuto cosi, ma mi sembrava troppo facile... io ho semplicemente fatto questo ragionamento;
se x è intero x^p è intero
se x è razionale x^p è razionale
se x è irrazionale x^p è razionale solo quando x = a^1/p , dove a è razionale.
ora tu non puoi essere sicuro che x = a^1/p non ti ...

Siano p>1 , q>1 numeri interi e sia x > 0 un numero reale.
a) Quale condizione su p e q garantisce che se x^p e x^q sono numeri interi allora x stesso è intero?
b) Quale condizione su p e q garantisce che se x^p e x^q sono numeri razionali allora x stesso è razionale?

posto questo esercizio perchè ...