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È possibile suddividere un quadrato di lato intero in più quadrati di lato intero, in modo che non ci siano due quadrati aventi un lato della stessa lunghezza?

Sì, è possibile, però non con tutti i quadrati. Martin Gardner ci ha dedicato un intero capitolo in "Enigmi e giochi Matematici". Il più ...

Dato che ancora nessuno ha tentato di risolverlo, incominciamo a dare gli aiuti:

Indizio 1: Indizio 2:

[...] ma il problemaccio è che se uno pone \(a_1 = 1\), la condizione è praticamente inesistente, e non è difficile vedere che senza condizioni quella cosa è falsa.
Caso esemplificativo:

Consideriamo la coppia $(2, 4)$. Qui MCD$(2, 4)=2$ ed è facile constatare che
\[
2^44^2 \mbox{ non divide } 8 ...

Se nella risoluzione di un problema in una competizione uso i numeri di Stirling di seconda specie per determinare le partizioni di un insieme, devo inserire nella soluzione anche la dimostrazione della loro formula di ricorrenza:
\[
S(n+1, k)=S(n, k-1)+rS(n, k)
\]
oppure posso usare la formula ...

Ottima soluzione, anche se volendo puntualizzare c'è un piccolo particolare che non và troppo bene:


2)[...] se Clara estrae la radice quadrata lascia a Guelfo $ | \dfrac{a}{2} - \dfrac{b}{2} | = \dfrac{ |a-b| }{2} = 1 $ . Quindi Guelfo dividendo per l'opportuno fattore primo può sempre ottenere ...

Clara e Guelfo giocano al seguente gioco: Partono con un numero e ognuno può decidere o di dividere il numero per un suo fattore primo o, se il numero è un quadrato perfetto, di estrarne la radice quadrata. esempio: se il numero di partenza è $16$, uno può decidere di dividere per $2$, e ottiene $8 ...

HCP16 ha scritto:Per $x,y,z$ reali positivi con $ xyz=1 $ dimostrare che:

$ \sum{\frac{1}{y^2z^4+x^2z^4}}\ge{\frac{3}{2}} $

Non riesco a capire la sommatoria: come variano $x, y, z$ nella somma? Come vengono incrementati?

Comunque attendo la soluzione del secondo punto

Bonus: Se invece poniamo solo che MCD$(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n)=1$, la tesi è ancora dimostrata? Ovviamente bisogna motivare la risposta.

Own: sono dati $n\geq 2$ numeri interi $a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n$ tali che MCD$(a_i, a_j)=1$ per ogni $1\leq i<j\leq n$. Dimostrare che
$$
a_1^{a_2}a_2^{a_3}a_3^{a_4}\cdots a_{n-1}^{a_n}a_n^{a_1}\; |\;(a_1a_2a_3\cdots a_n)!
$$

A prima vista può sembrare ostico, ma la soluzione è semplice, e ...

E' facile dedurre che:
$$
f(n, k)=k!S(n, k)
$$
con $S(n, k)$ i numeri di Stirling di seconda specie, ovvero il numero di partizioni di $n$ elementi in $k$ insiemi non ordinati. Il corollario diventa allora equivalente a dimostrare:
$$
2^k\, | (2k)!
$$
Ragioniamo per induzione: l'affermazione è vera ...

Ok, riformulo la soluzione, spero di non commettere altri errori.

Partiamo dall'assunto che il numero di tutte le parole di $k$ lettere è maggiore del numero di parole di meno di $k$ lettere (per una dimostrazione si veda il mio post precedente). Ora analizziamo due casi:

Caso 1: nel dizionario ...

Scusa se son duro di comprendonio, ma non ho capito quale sia il tuo obiettivo... "Ritentare" alla sns? Ma non si può tentare una volta sola, per il primo anno?
Si, può ritentare per il primo anno, ma per un corso diverso (p.es. se non è entrato a matematica l'anno prossimo può ritentare, ma non a ...

Provo ad abbozzare una risposta.

Prima di tutto, siccome le lettere sono $2$, esistono $2^k$ parole diverse di lunghezza $k$. Sappiamo poi che $1+2+2^2+2^3+\cdots +2^{k-1}=2^k-1<2^k$, che può essere interpretato con il fatto che il numero di parole di $k$ lettere è maggiore del numero di tutte le ...

Dunque il numero di modi di ripartire gli $n$ elementi in tre sottoinsiemi $A, B, C$ non vuoti è
$3^n-3 \cdot 2^n+3$
Se però poniamo $n=3$, non vi è un solo modo di "partizionare" il'insieme ($\{1\}\{2\}\{3\}$), mentre dalla tua formula si evince che $3^3-3\cdot 2^3+3=27-24+3=6$ otteniamo anche ...