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C'è un'altra dimostrazione, forse un po' più complicata ma abbastanza bellina:

Partiamo da un assunto iniziale

e > (1+1/n)^n

Per qualsiasi n
Quindi

ln(e) > ln(1+1/n)^n

Dunque

1 > n(ln(n+1)-ln(n))

E

1/n > ln(n+1)-ln(n)

Ora, la somma di tutti i termini prima del maggiore sarà sempre ...