OliForum Matematico

Trovare tutti gli $ n $ per i quali esistono $ n $ interi consecutivi la cui somma quadratica e' un numero primo.

Forse ho capito male, ma mi sembra di si. Se il programma che genera la sequenza dato un n si chiama s(n) , basta costruire un programma piu' grande che contiene s(n) come subroutine del tipo:

01 n=1
02 Stampa l' n -simo numero di s(n)
03 n=n+1
04 goto 02
05 end

Ho capito male?

PS: Per la ...

Provare a studiare l'equazione $ \pmod{3} $

ndp15 ha scritto: Ovviamente sono solo sottigliezze...

Appunto.... ti ha risposto Gauss91.

Claudio. ha scritto:... Mi scusa per la ca**ata (tanto per cambiare XD)

Non ti preoccupare . Prova ad andare avanti, mi pare interesante.

... per il resto nella tua dovresti comunque citare il lemma, quindi non è che risulti poi molto più semplice :wink:

Non mi pare. Un qualsiasi numero non divisibile per 3 ha come resto 1 o 2, modulo 3. Quindi il suo quadato avra' resto 1, che sommato a 2 da 3.... cioe' 0, modulo 3. Non serve ...

Quanti sono i divisori di n! ? L'unica cosa (ovvia) che so al momento è che non sono minori di n e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....
Se vuoi sapere solo il loro numero puoi usare la combinatoria XD
Sono n!+(\frac{n!}{1!})+(\frac{n!}{2!})+(\frac{n!}{3!})+...+(\frac{n!}{(n-1 ...

Molto piu' semplicemente, $ p=3 $: funziona. Per $ p\neq 3 $, $ p^2+2\equiv 0\, \pmod{3} $ e quindi il secondo non e' mai piu' primo. stop.

OriginalBBB ha scritto:.... e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....

Sei sicuro?

Se ti vuoi convincere considera il seguente esempio:
$ 6!=720=2^43^25 $, il numero di divisori e' $ (4+1)(2+1)(1+1)=30 $, ma $ 6+5+4+3+2+1=21 $ ....

Hint: la formula di De Polignac puo' essere utile.

Claudio. ha scritto: Come mai hai preso $ n-1,n,n+1 $ e non $ n,n+1,n+2 $?

Perche' cosi' il prodotto di due di questi numeri fa $ n^2-1 $, per il quale e' facile dimostrare che non puo' essere un quadrato perfetto (... usando la famosa tecnica di individuare questo numero tra i quadrati di due numeri consecutivi...)

Mostrare qual'è il più piccolo n per cui
(2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1)\cdot...\cdot(n^2-1)
sia un quadrato perfetto, e dimostrare se esistono infiniti n che soddisfano tale proprietà.

Provo. Sviluppando i prodotti notevoli (diff. di due quadrati) si vede che
(2^2-1)\cdot(3^2-1)\cdot(4^2-1 ...

Gauss91 ha scritto:Dalla definizione di partenza: $ z=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{x+y} $.
O c'è qualcosa che non va?

Se non sono completamente fuso dovresti avere

$ x^2-zx-zy+y^2=0 $, c'e' il $ ...+y^2 $

Mai un quadrato : siano n-1,n,n+1 i tre numeri consecutivi con n>1 . Il loro prodotto e' n(n^2-1) . Poiche' GCD(n, n^2-1)=1 , sia n che (n^2-1) devono essere quadrati perfetti. Ma n^2-1 non e' mai un quadrato perfetto perche' strettamente compreso tra i quadrati di due numeri consecutivi: (n-1)^2<n ...

Good!

andreac ha scritto:E' ammesso l'uso del teorema di De L'Hospital? Se sì, si conclude in un passaggio.

Si puo' fare anche senza. E' piu lungo, ma piu' "soddisfacente", piu' "olimpico"