OliForum Matematico

Scusate, posto qui anche se non e' un vero esercizio, dato che mi sembra il luogo piu' adatto dove ottenere una risposta valida. Mi scuso con i moderatori e gli utenti del forum se la domanda dovesse risultare off topic.

Qualcuno conosce una dimostrazione elementare dell'identita'


\sigma_7(n ...

non necessariamente: ad esempio 16k+10 e' una sottosuccessione "buona" di 8k+2, che e' "cattiva".

ah, gia', che scemo, in quella che ho scritto le successioni indipendenti (nel senso che non sono sottosuccessioni di una gia' buona) sono solo tre

ma raddoppiando la ragione dovrebbe funzionare (spero...)

per i) e ii), se non ho capito male la domanda,

1,1,2,3,5,8,13,5,2,7,9,0,9,9,2,11,13,8,5,13,2,15,1,0,1,1,...

per iii) direi che ogni progressione aritmetica ne contiene una geometrica...

Tutti sanno (almeno su questo forum) che l' n -mo numero di Fibonacci e' dato dalla formula chiusa


\displaystyle{
F_n= \frac{\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
-\frac{\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n


Definiamo allora una successione tipo Fibonacci nel seguente modo ...

Curiosando nel forum, piu' precisamente qui , mi sono imbattuto in una dimostrazione brillantissima (ma purtroppo errata) del classico teorema del panino al prosciutto e formaggio. L'errore (come prontamente osservato da EvaristeG) stava nell'affermazione "se P e' il baricentro di un solido X ...

bah!

$ a_0=0; \quad a_1=1;\quad a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n $

povera analisi, tanto bistrattata...

in fondo basta ricordarsi che

$ \displaystyle{\sin({\rm arctg}(t)+k\pi)=\pm\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\qquad \cos({\rm arctg} (t)+k\pi)=\pm\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} } $

e viene subito, anche se in modo sicuramente meno elegante

divertente . lascio di seguito un suggerimento in bianco, anche se in effetti e' facilissimo.


e^{i t}=cos(t) + i sen (t)

Ah, il buon vecchio signor le Blanc...

(di tanto in tanto questo problema rispunta fuori, son sicuro di averlo gia' visto da qualche parte nel forum)

sarei tentato di scrivere q=1+i+j+k, ma temo che gia' questo basti a rovinare il problema (ovviamente si puo' fare anche a mano).

Un argomento (leggermente) piu' semplice e' il seguente: calcolando l'identita' di Edward in (y,x) si vede che f(y/x)=-f(x/y) . Sfruttando questo fatto, calcolando l'identita' di Edward in (1/x,1/y) si trova


\displaystyle{
-\frac{1}{x}f(y)+\frac{1}{y}f(x)=f\left(\frac{x}{y}\right)=-f\left(\frac{y ...

Suggerimento vaghissimo:


- Io considererei la differenza f-g...

- Ma non e' a valori in {-1,1} !

- Appunto!

Dai commenti (a proposito, grazie a tutti per aver preso parte alla discussione), mi rendo conto di essermi spiegato male. Non intendevo affatto dire che i primi due esercizi richiedano conoscenze esoteriche. Ma che una volta nota la disuguaglianza tipo che interviene in questo genere di problemi ...

Attenzione: quello che stai per leggere e' un post provocatorio e polemico. Viene scritto nella speranza sia lo spunto per una discussione costruttiva. Ragione per cui non contiene alcun elemento distruttivo; ad esempio, non contiene alcuna indicazione sulle soluzioni degli esercizi. Se vuoi ...