OliForum Matematico

Un paio di idee utili:

-se A divide N, allora anche N/A divide N (facendo attenzione al caso A=N/A)

-la funzione che conta i divisori è una funzione moltiplicativa, cioè se gcd(A,B)=1 allora div(A*B)=div(A)*div(B) (quale sarà la scelta conveniente di due fattori coprimi per un numero triangolare ...

Ok, inizio io, proviamo con 25 8)

Io scommetto su jordan.

Ero arrivato pure io a 25, ma un paio di giorni senza connessione mi hanno impedito di poter scommettere su di me.

Credo che ne chi ha postato il problema (81!!!) ne io con la mia stima (65!!) avessimo pensato abbastanza seriamente al ...

Siano dati N interi positivi, nessuno dei quali ha un divisore primo maggiore di 5. Mostrare che possiamo sceglierne 4 il cui prodotto è una potenza quarta.

Per N>=81 l'affermazione è vera, ma qual'è il minimo N per il quale rimane vera ?

Io sono arrivato a dimostrare che per 65 rimane vera, ma ...

Non mi è venuto in mente nulla di "figo"...

Come notavi tu, il problema non chiede un insieme di spostamenti minimale, solo uno qualsiasi con al più 3N spostamenti.

Hint: prova a risolvere il problema con il vincolo aggiuntivo di usare esattamente 3N spostamenti

Su wiki come al solito si trova più o meno di tutto: http://en.wikipedia.org/wiki/Dimer_model

Sembra che la scacchiera 8x8 sia tassellabile in 12988816 modi, ma non credo esista una dimostrazione "olimpica"..

In questo topic si risponde anche alla domanda: "Come trovare una formula chiusa per una ricorrenza lineare ?"
Salta pure i primi post che parlano di un problema particolare, dal secondo post di Boll in poi si tenta di spiegare come si ricava la formula di Binet, cioè la formula chiusa per il ...

Mi vengono in mente altre 8 mosse iniziali vincenti, usando una strategia molto simile a quella descritta.

Volendo generalizzare un po', nel caso che i lati abbiano la stessa parità il gioco si risolve con la stessa strategia, per il pari x dispari mi viene in mente una soluzione semplice solo se ...

Cerchiamo di sistemare un po' di cose del mio primo, goffo, tentativo....


Aggiungiamo all'insieme di partenza un elemento fittizio, il "minimo" $M , tale che per ogni elemento $x M \le x .

Creiamo ora un grafo con un nodo per ogni elemento dell'insieme (minimo compreso) e con un arco tra due ...

L'idea di usare i grafi è buona, anche se mi sa che c'è qualche errore...

Se B \le A e C \le A non è detto che B \le C oppure C \le B , quindi il passo induttivo non funziona.

Ci provo io usando i grafi..

Come prima cosa eliminiamo i "doppioni": se esistono due elementi $A e $B tali che A \le B e ...

Cito:

Sono dati $ $n $ punti $ $P_1, P_2, ... , P_n $ nel cerchio di centro $ $P_1 $ e raggio 1. Per ogni intero $ $i = 1,2, ... , n $ indichiamo con $ $x_i $ la minima distanza tra $ $P_i $ e gli altri $ $n - 1 $ punti.
Si dimostri che: $ $\sum\limits_{i=1}^n {x_i^2} \leq 9 $.

Buon divertimento!

Molto divertente...

Io sono arrivato a qualcosa del genere: \displaystyle F(2n) = F(n) \sqrt{5 F(n)^2 + 4 (-1)^n}

L'idea di base è lavorare con la forma matriciale dei numeri di Fibonacci ( http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Matrix_form ).
Data A=\left(\begin{array}{ccc}0&1\\1&1\end ...

Mi chiedo se è possibile trovare un esempio di D insieme di infinite direzioni razionali, ma che comunque ha la proprietà di avere esattamente un punto su ogni retta da controllare. Ma di questo ammetto di non avere una soluzione...

Butto li un esempio banale...
Rappresentando le rette come aX ...

ci provo pure io.....

ragionando solo nel primo quadrante, vedi ragionamento di jordan, estremi esclusi:

x > \sin x implica \cos x < \cos(\sin x)

\cos x < \frac{\pi}{2} - x implica \sin (\cos x) < \sin( \frac{\pi}{2} - x) = \cos x

e quindi \sin (\cos x) < \cos x < \cos (\sin x)

Salta fuori ...