OliForum Matematico

Per chi volesse, il punto 3:

pic88 ha scritto: Piu' che altro, out of curiosity, come dimostri che se $ z $ e' algebrico lo e' anche $ z/n+x $ ? (magari e' facile ma non mi viene sul momento se non coi cannoni)

Se $p(t)\in \mathbb{Q}[t]$, $p(z)=0$, allora ho che $q(t):=p\left(n(t-x)\right)$ è in $\mathbb{Q}[t]$ e $q(\frac{z}{n}+x)=p(z)=0$

Metto una soluzione completamente elementare (e in cui non era necessario "vedere" Jensen), sperando che possa essere utile a qualcuno.
Per prima cosa omogenizzo:
$(x^2z+xz^2+y^3)(x+y+z)=x^3z+x^2yz+x^2z^2+x^2z^2+xyz^2+xz^3+xy^3+y^4+y^3z\ge 4x^2z^2+4xy^2z+y^4 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow x^3z ...

Editato. Posso garantire che tutte le soluzioni che conosco del problema del BST funzionano con questa traccia (e in effetti con quella prima non tanto) :D
E insomma, non è che se un problema è in tdn allora la combinatoria è vietata (anzi, in media fa venir fuori soluzioni fighe - o come qui quella ...

Mi pare che il testo sia scritto bene, a parte una virgola che doveva essere un punto
Nel dubbio, faccio un esempio:
tiro $7$ volte un dado e ottengo come risultati $4,3,1,6,5,4,6$. Poiché $4+3+1+6+5+4+6=29\equiv 1 \pmod 7$, si sceglie il numero 1.

Dopo la partenza da Gran Burrone, dopo aver attraversato indenne le miniere di Moria, dopo la partenza di Gandalf alla volta di Fangorn, la compagnia si trova oltre la metà del suo cammino verso Minas Morgul. Sulla strada viene avivistata una piccola guargnigione di orchetti proveniente da Dol ...

Ho editato... Dai, un minimo di dignità i problemi del BST ce l'hanno

Come richiesto:

Definisco un numero simpatico se ha in totale un numero pari di fattori primi (es.: $9$ è simpatico, $18$ no)
a) Dimostra che esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)$ con a\neq 0 a coefficienti interi tale che i numeri $p(1),p(2),\dots ,p(50)$ siano simpatici
b) Dimostra che non ...

PS: TBPL, che problema era?

Cercando non l'ho trovato, quindi provo a ricostruire la traccia (è passato quasi un anno, credo che i problemi non siano più coperti da segreto di stato. Nel caso stia facendo qualcosa di vietato, Xamog potrà fare di me ciò che vuole)

Definisco un numero simpatico ...

Giacché siamo in tema, io all'ultimo BST ho usato sia il teorema di Dirichelet che questo nello stesso problema.. Ci ho preso 4 punti, e poi ho scoperto perché:
Quando usate un cannone, scrivete chiaramente ipotesi e tesi e dove e quando lo usate.
Comunque è molto diseducativo e sopratutto rende ...

Si consideri lo sviluppo delle potenze fatto precedentemente.

Poniamo ora (a,b,c) come la più piccola terna che soddisfi la tesi e tale che a,b,c \not \equiv 0 \mod{29} affinche 29 \mid a^4+b^4+c^4 si deve avere quindi che 29 \mid k_1^4+k_2^4+k_3^4 ma nessuno di questi numeri è congruo 0 modulo 29 ...

Step 1 : Se a(x) , b(x) a coefficienti interi sono tali che a(x)|b(x) per infiniti interi, allora a(x)|b(x) (intesi come polinomi in \mathbb{Q}[x] ).
Dim. : Sia a il coefficiente direttivo di a(x) . Faccio la divisione euclidea fra a(x) e a\cdot b(x) , da cui segue che a(x)=ac(x)b(x)+r(x) con r(x ...

Vediamo se sono ancora capace di fare qualcosa:

Ho che \displaystyle{S_n:=\sum_{0<k\le \frac{n}{2}} \binom{n}{2k+1}5^k = \frac{1}{2\sqrt{5}}\left({(1+\sqrt{5})}^n-{(1-\sqrt{5})}^n\right)} , e da qui è facile vedere che
\left\{\begin{array}{l}
S_0 = 0 \\
S_1 = 1 \\
S_{n+2}=2S_{n+1}+4S_{n}
\end ...

Problema 13
Dato un segmento lungo 1 e un segmento lungo x, costruire un segmento lungo 1/x.

Disegno a caso sul piano un segmento OX lungo x. Faccio la crf. di centro O e raggio 1. Ora distinguo due casi:
- Se X è esterno alla crf., traccio le tangenti alla crf. passanti per X. Chiamo i p.ti ...

Sia $ ABCD $ un quadrilatero convesso. Siano $ P $ e $ Q $ due punti rispettivamente su $ BC $ e $ CD $ tali che $ \angle{BAP}=\angle{DAQ} $. Sia $ H_1 $ l'ortocentro di $ BAP $ e $ H_2 $ l'ortocentro di $ DAQ $. Dimostra che $ H_1H_2\bot AC $ se e solo se $ BAP $ e $ DAQ $ hanno la stessa area.