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1) Dimostrare che per ogni $m$ intero positivo esiste un unico sottoinsieme finito $S_m \subset \mathbb{Z}$ tale che: - $\forall n \in S_m,\;n+1 \notin S_m$; - $m=\sum\limits_{n \in S_m} \varphi^n$, dove $\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. 2) Calcolare la densità asintotica degli $m$ tali che $0 \in S_...

Allora, si era posto $x=\cot(\alpha)$ e $y=\cot(\beta)$ con $\alpha,\beta \in (0,\pi)$, e si era visto che definendo $\gamma=\pi-\alpha-\beta \in (-\pi,\pi)$ segue $z=\cot(\gamma)$ (che esiste perché $\gamma \neq 0$, altrimenti seguirebbe $\alpha+\beta=\pi$ e quindi $x=-y$, che però rende impossibil...

Intendi la parte in cui dico che $\alpha,\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli di un triangolo?

Osserviamo che se $(x,y,z)$ è una soluzione, lo è anche $(-x,-y,-z)$. La prima equazione ci dice che, a meno di cambiare i segni, le tre incognite sono le cotangenti degli angoli di un triangolo (dettagli nel testo nascosto)... Esistono sicuramente $\alpha,\beta \in (0,\pi)$ tali che $x=\cot(\alpha)...

$P$ e $Q$ sono le intersezioni tra la circonferenza circoscritta ad $ABC$ e la circonferenza di diametro $DE$, di cui chiamiamo $O$ il centro. Detto invece $M$ il punto medio di $XY$, la tesi è $M \in PQ$, cioè $M$ appartiene all'asse radicale delle due circonferenze, cioè $M$ ha la stessa potenza r...

Provo a rispolverare questo problema perché mi interessava... affronto il punto (a): Suppongo di aver chiamato $A,B,C$ i vertici procedendo in senso antiorario e facendo in modo che, detti $\alpha,\beta,\gamma$ i rispettivi angoli, $\alpha$ e $\gamma$ siano acuti (non è strettamente necessario, ma p...

Aggiunte le parti mancanti. Restano da dimostrare i due lemmi, e lo si può fare usando alcuni fatti basilari sui birapporti... 1) Siano $JK$ e $LM$ due corde di $\Gamma$ passanti per $U$, congiungiamo questi quattro punti con $P$ e prendiamo le intersezioni con $r$, ottenendo i punti $J',K',L',M'$, ...

Per ora scrivo una soluzione parziale, nel senso che mancano alcune dimostrazioni (ma le scriverò in un secondo momento)... Chiamo $P,Q$ le intersezioni di $VW$ e $\Gamma$, con $PV<PW$, e $r$ una retta non passante per $P$, ma la cui parallela per $P$ è tangente a $\Gamma$: posso allora mettere in c...

Piccolo hint:

Non so se questo fatto ha un nome, comunque è vero (forse serve anche l'ipotesi che la conica non sia degenere): nel testo nascosto c'è la mia dimostrazione Supponiamo che i vertici "fermi" del triangolo siano i punti $(\pm 1,0)$, che chiameremo $A$ e $B$, e consideriamo la funzione $f$ ch...

Dati due numeri complessi non nulli z_1,z_2 tali che $\dfrac{z_1}{z_2} \notin \mathbb{R}$, si definisca $L=\{az_1+bz_2 | a,b \in \mathbb{Z} \}$ e si consideri la sommatoria $\sum\limits_{w \in L \setminus \{0\}} |w|^{-\alpha}$ con $\alpha \in \mathbb{R}$. 1) Dimostrare che se $\alpha=3$ la sommatori...

L'insieme $X$ delle palle prese in considerazione può essere visto come unione di insiemi del tipo $\{B \in X | r(B)>1/n \}$ al variare di $n$ negli interi positivi, dove $r(B)$ è il raggio di $B$. Se tutti questi insiemi fossero al più numerabili lo sarebbe anche $X$, pertanto abbiamo, per un certo...

Si può dimostrare per induzione su $k$ Base: per $k=1$ ho che $F_{n+1}=F_{n-1}+F_n \Rightarrow F_{n+2}=F_{n-1}+2F_n \Rightarrow F_{n+3}=2F_{n-1}+3F_n \Rightarrow ...$ e in generale $F_{n+l}=F_lF_{n-1}+F_{l+1}F_n$ (1) (viene facilmente per induzione), per cui il polinomio cercato è $p_{1,l}(x,y)=F_lx...

Vabbè, mi pare che l'hint funzioni lo stesso...

lucaboss98 ha scritto: $ \binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x} = \dfrac{10^6!}{(x+1)!(10^6-x-1)!} - \dfrac{10^6!}{x!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6-x+x+1)}{(x+1)!(10^6-x)!} = \dfrac{(10^6+1)!}{(x+1)!(10^6-x)!} $

Credo ci sia un errore di segno nel penultimo passaggio...