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Serve il teorema delle unità di Dirichlet...

Sia a_n la soluzione di \tan x=x compresa fra - \pi/2 + n \pi e \pi/2 + n \pi .
Sia b_n la soluzione di \tan x=x + n\pi compresa fra - \pi/2 e \pi/2 .
Si vede facilmente che a_n = b_n + n\pi e che b_n è una successione crescente che tende a \pi /2 .
Pertanto \[ \lim_{n\to \infty}{b_n-b_{n-1}}=0 ...

A ma_go: chiedo scusa, avevo fatto un errore nello scrivere il testo. Ora l'ho corretto.

[ spostato . ma_go]

Dimostrare che le uniche soluzione intere dell'equazione:

| a(a-10c)^2 - b^3 + c^2(10b+c) +2bc(a-10c) +ab(10b+c) |=1

sono della forma: \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = (-1)^m \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -10 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix ...

E' banale.
E' lapalissiano che non ci sono molte soluzioni, si contanto sulle dita di una mano.

Il primo è parso banale perchè è banale.

Sia $ p $ un numero primo congruo a 1 mod 3.
Supponiamo che esistano a e b tali che $ p = a^2 +27 b^2 $.
Allora esiste un intero $ x $ il cui cubo è congruo a 2 mod p.

P.s.: è il primo problema che metto. Spero che abbia successo, spero di essere travolto dalle risposte (compresi i contributi ironici).

Esiste.

Sia \alpha=(10^{2009}-1)/9 .

La domanda iniziale equivale a chiedersi:
"Si può trovare k in modo che esista un n intero tale che valga la doppia disugaglianza che segue?"

\alpha 10^{k} < n^{2009} < (\alpha +1)10^k

o anche:

10^{(log\alpha + k)/2009} < n < 10^{(log (\alpha+1) + k ...

La trama di "Guerra e pace" è più semplice da capire.

Va bene.
In effetti i calcoli sono brutti, io li ho fatti al pc.
Comunque c=7717503920.
(Più che una metasoluzione, la sua si direbbe una soluzione non costruttiva.)

Secondo me ha ragione Fph.
Se si accettano affermazioni del tipo "si lasciano i calcoli al lettore come utile esercizio" allora non è una metasoluzione ma metà soluzione!
I metaproblemi, i metametaproblemi e in generale i (meta)^n problemi sono un argomento tipico della logica matematica.
Sono degli ...

Concordo. Anche io non riesco ad inserire un'immagine anche se le sue dimensioni sono giuste. Che devo fare?

Il collega Jordan mi ha invitato a proporre un nuovo problema.

Sia p un numero primo per il quale esiste almeno un numero naturale x tale che:

1) p divide x^5 + 5
2) p divide (x+1)^5 + 5

Determinare l'unico possibile valore di p.

(Richiede parecchi calcoli, ma alle 2 di notte avevo solo la ...

La somma di quei binomiali è 2^(n-1) -1, quindi sono dispari in numero dispari.

Numerabile. Se assumiamo che ogni problema è una sequenza finita di caratteri tipografici e che esiste solo un numero finito di caratteri tipografici distiniti allora basta attribuire ad ogni problema il suo numero di Godel.