OliForum Matematico

Per cui adesso mi arrendo. Qualcuno mi dice come l'ha fatto?

Scusa, jordan, ma tu sai di un $ n $ per cui $ s(n) \geq 2s(n^2) $ ?

A naso direi che $ k = 2 $ va bene, ma non ho idea di come dimostrarlo. Qualche hint?

Una dimostrazione un po' più formale può essere questa:

Poniamo

$$P_n \equiv \prod_{k=2}^n \frac{k^3-1}{k^3-1} = \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)} = \left( \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k+1} \right) \left ( \prod_{k=2}^n \frac{k^2+k+1}{k^2-k+1} \right )$$ .

Trattiamo separatamente ...

Il problema è che i 'punti' sulla terra e sul mare sono infiniti quindi il principio della piccionaia non si può applicare (almeno non ai singoli punti). Io pensavo:

Chiamiamo $S$ la terra (che pensiamo come una sfera), $A$ la parte coperta dall'acqua e $B$ la parte emersa. Evidentemente $A$ e $B ...

non so...cosa useresti come piccioni?

E' noto che più della metà della superficie terrestre è ricoperta dagli oceani (circa il 70%). Dedurne che esistono due punti antipodali entrambi sommersi dalle acque.