OliForum Matematico

Le cose si complicano: per $ p=11 $ esistono le soluzioni intere $ (5,-4) $ e $ (-4,5) $.

Hint:

Metto i miei risultati parziali, nel caso potrebbero essere d'aiuto: i) Se per un $p>3$ esiste una soluzione intera $(x,y)$, allora $3\mid x+y-1$ e $p \nmid xy$. ii) L'equazione può essere riscritta come $(x+y+1)((x+y+1)(x+y-2)-3(xy-1))=p^2+1$. @Eleven: sicuro che il testo non sia $x^3+y^3-3xy=p^2-...

Visto che nessuno ti ha risposto ci provo io. Siano \displaystyle P_n = \prod_{i=1}^n x_i, S_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} . E' facile vedere che P_{n+1}=P^2_n+P_n . Mostriamo per induzione che S_n = 1 - \dfrac{1}{P_n} . Per n=1 è banale. Supposto che la relazione valga per n , si ha S_{n+1} = 1 -...

Siano $ x,y,z \in \mathbb{R}^+ $ tali che $xyz=1$. Dimostra che $ \dfrac{x^4}{(1+y)(1+z)(y+z)}+\dfrac{y^4}{(1+z)(1+x)(z+x)}+\dfrac{z^4}{(1+x)(1+y)(x+y)} \geq \dfrac{3}{8} $

Determinare tutti i primi $ p $ tali che $ x^3+y^3-3xy=p^2 $ abbia soluzioni intere.