La ricerca ha trovato 421 risultati
- 24 apr 2013, 00:35
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Espansione decimale di $2000^n$
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Re: Espansione decimale di $2000^n$
Prima di tutto, per comodità, chiamiamo $a$ il numero formato dalla sequenza di cifre con cui deve iniziare la nostra potenza: deve risultare $a \cdot 10^m < 2^n < (a+1) \cdot 10^m$ per qualche intero positivo $m$, ovvero $m+\log a<n \cdot \log 2<m+\log(a+1) \Rightarrow r_1<n \cdot \log 2-m'<r_2$ do...
- 19 apr 2013, 21:26
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: $n \neq \sum_{i=1}^{k}{a_i^2}$, con $1\le k\le 9$
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Re: $n \neq \sum_{i=1}^{k}{a_i^2}$, con $1\le k\le 9$
Sappiamo che tutti i quadrati perfetti dispari sono $\equiv 1$ $(\mod 8 )$, per cui risulterà $\sum_{i=1}^{k}{a_i^2} \equiv k$ $(\mod 8 )$. Se quindi prendiamo un $n \equiv 2$ $(\mod 8 )$, l'unico modo per esprimerlo come risultato di quella sommatoria è con $k=2$: abbiamo perciò l'equazione $p^2+q^...
- 04 apr 2013, 23:02
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: $d_7^2+d_{10}^2=\left(\frac{n}{d_{22}}\right)^2$
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Re: $d_7^2+d_{10}^2=\left(\frac{n}{d_{22}}\right)^2$
E' ben più facile di quanto sembra! :) Hint: n deve essere divisibile per tutti gli interi tra 1 e 6. Perchè? E allora? Uffa, perché nei problemi di TDN non ho mai queste illuminazioni? :cry: Comunque... Divisibilità per 3: se $n$ non fosse multiplo di $3$, i quadrati di tutti i suoi divisori sareb...
- 02 apr 2013, 20:05
- Forum: Geometria
- Argomento: 49. Una bisettrice e un'inversione
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Re: 49. Una bisettrice e un'inversione
Comunque bisogna aspettare spugna :D Chiedo scusa, ero a Vienna! 8) (Fonte?) In realtà nessuna, sono due fatti che mi sono saltati fuori quasi per sbaglio mentre cercavo di fare un'altra cosa con Cabrì... :lol: infatti li ho messi nell'ordine che capitava, chiedo scusa anche per questo! il primo ch...
- 27 mar 2013, 19:50
- Forum: Geometria
- Argomento: 49. Una bisettrice e un'inversione
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49. Una bisettrice e un'inversione
Siano $\Gamma$ una circonferenza, $A$ e $B$ due punti interni ad essa e $r$ l'asse del segmento $AB$: $\Gamma$ e $r$ si intersecano in $X$ e $Y$ e le circonferenze $\gamma_1$ e $\gamma_2$, entrambe passanti per $A$ e $B$ e coi centri rispettivamente in $X$ e $Y$, intersecano $\Gamma$, rispettivament...
- 23 feb 2013, 11:31
- Forum: Olimpiadi della matematica
- Argomento: Gare di febbraio 2013
- Risposte: 31
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Re: Gare di febbraio 2013
Ma il primo dimostrativo viene anche a voi (1,1,1), (1,1,2) e (1,2,3)? Mi sembrano un po' troppo semplici per essere le uniche soluzioni...
- 15 feb 2013, 00:44
- Forum: Geometria
- Argomento: 48. Cerchio turco
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Re: 48. Cerchio turco
Chiamiamo $T$ l'intersezione $AB \cap PQ$, $2 \theta$ l'angolo $\widehat{POQ}$, con $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$, $\alpha$ e $\beta$ gli angoli $\widehat{PQX}$ e $\widehat{QPX}$, e $r$ il raggio della circonferenza: indipendentemente da $X$ si ha $\widehat{PXQ}=\dfrac{2\pi-2\theta}{2}=\pi-\theta \Right...
- 11 feb 2013, 16:14
- Forum: Geometria
- Argomento: Costruzioni su un quadrato
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Re: Costruzioni su un quadrato
In effetti ricordo che nel risolverlo la prima volta mi erano venuti dei calcoli abbastanza brutti, infatti ho messo questo problema per vedere se qualcuno avrebbe trovato una soluzione decente... Ora, riprovandoci, ne ho trovata una decisamente migliore per la prima parte... Vedo cosa riesco a fare...
- 22 gen 2013, 17:54
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Divisibilità dagli usamo
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Re: Divisibilità dagli usamo
Non c'è due senza treTriarii ha scritto: Ahah ti giuro siamo stati in due a pensarlo
- 21 ott 2012, 09:07
- Forum: Algebra
- Argomento: Disuguaglianza cinese con gli $H_n$
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Re: Disuguaglianza cinese con gli $H_n$
Supponiamo per assurdo che per ogni $k \in \mathbb{N}$ non ci sia un $H_n$ compreso tra $k+x$ e $k+y$: allora esisterebbe un intero positivo $a_k$ tale che $H_{a_k} \ge k+y$ e $H_{a_k-1} \le k+x$, da cui seguirebbe per sottrazione membro a membro $\dfrac{1}{a_k} \ge y-x \Rightarrow a_k \le \dfrac{1}...
- 14 ott 2012, 10:20
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: $\sum_{d\mid n}{\varphi(d)}=n$
- Risposte: 7
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Re: $\sum_{d\mid n}{\varphi(d)}=n$
Si può dimostrare per induzione: la tesi è valida per ogni $n$ che può essere espresso come potenza di un numero primo; inoltre, se è valida per un certo $n$, allora lo è anche per $n \cdot q^k$, dove $q$ è un primo che non divide $n$ Innanzitutto ricordiamo che $\varphi(n)=n \cdot \prod\limits_{p \...
- 09 ott 2012, 22:38
- Forum: Algebra
- Argomento: I coeff dei polinomi sono anche radici
- Risposte: 1
- Visite : 1021
Re: I coeff dei polinomi sono anche radici
Supponiamo come primo caso $a_0 \neq 0$ Osserviamo che: 1) Per Viète si ha $a_0a_1a_2...a_{n-1}=(-1)^na_0 \Rightarrow a_1a_2...a_{n-1}=(-1)^n \Rightarrow a_i=\pm1$ $\forall 1 \le i \le n-1$ 2) Siccome i coefficienti sono anche radici, dalla (1) segue $p(x)=(x-1)^p(x+1)^q(x-a_0)$, con $p+q=n-1$ Ora a...
- 01 ott 2012, 22:41
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: $a+be | ab+e$
- Risposte: 4
- Visite : 1389
Re: $a+be | ab+e$
Non basterebbe prendere $b=1$ e $a>1$? Sarebbe troppo facile per essere un tuo problema!
- 30 set 2012, 23:48
- Forum: Combinatoria
- Argomento: Sequenze di elementi
- Risposte: 3
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Re: Sequenze di elementi
Ecco, puoi spiegarmi come ricavi l'equazione? Non so quanto sia noto questo fatto: data una successione $a_1,a_2,a_3,...$ tale che $a_{n+1}=ha_n+ka_{n-1}$ dove $h$ e $k$ sono due costanti, esistono $\alpha,\beta,p,q$ tali che $a_n=\alpha p^n+\beta q^n$ $\forall n \in \mathbb{N}^+$ Infatti sostituen...
- 30 set 2012, 22:11
- Forum: Algebra
- Argomento: La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
- Risposte: 6
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Re: 56. La radice reale di $p(x):=x^5-x^3+x-2$
Abbiamo $y^5-y^3+y-2=0 \Rightarrow \left(y+\dfrac{1}{y} \right) (y^5-y^3+y-2)=0 \Rightarrow y^6=2y+\dfrac{2}{y}-1$ Ora è sufficiente dimostrare che $4 \le 2y+\dfrac{2}{y}<5$, e ciò accade sicuramente se si ha $1<y<2$ Siccome $p'(x)=5x^4-3x^2+1>0$ $\forall x \in \mathbb{R}$, esiste un'unica soluzione...