OliForum Matematico

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Premetto che non sarà un problema entusiasmante, ma gioverà senz'altro alla salute olimpica dei più giovani cercare una soluzione e pubblicarla. Avete un naturale $k\geq 2$ e un grafo orientato, e volete dividere i vertici in $k$ sottoinsiemi $A_1,\cdots , A_k$ in modo che se una freccia parte da un...

Esattamente.

No, il lemma nel testo nascosto è un altro: non usa i polinomi algebrici elementari ma le somme di potenze; il risultato è lo stesso: ogni polinomio simmetrico si scrive come un polinomio calcolato nelle somme di potenze. Cerco di essere più preciso. Sia $f(x_1,\cdots , x_n)$ un polinomio simmetrico...

Detta così, conviene dimenticare anche che f sia un polinomio (cosa che peraltro modulo p si può sempre fare: ogni funzione è rappresentabile come polinomio).

Perdonami ma continuo a non capire: quali sono i due pezzi? In che senso il primo basta e il secondo è originale?

In che senso "molto originale il secondo pezzo"?
Qualcuno intanto si dia da fare per il problema!

Già l'ho fatto una volta, quando tu stesso proponesti un problema simile sul forum; ora tocca a qualcun altro!
Ho messo quei consigli proprio perché chi tra gli olimpionici non sapesse come approcciare il problema potesse risolverlo e scrivere per bene la soluzione.

1) Sia $f(x)$ un polinomio monico a coefficienti interi. Dimostrare che se $p$ è un primo dispari e il grado di $f$ è $p-1$, allora esistono due interi $1\leq i<j\leq p$ tali che $f(i)-f(j)$ sia divisibile per $p$. Detto altrimenti, il polinomio visto come funzione da $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ in sé ...

Detto in altri termini, mostrare che f ha grado 1! Lascio qui due consigli, uno generico, l'altro mirato. Se un polinomio ha grado 2 o maggiore, ci si aspetta che cresca in modulo molto in fretta! Invece i numeri primi sono parecchi, quindi bisogna in qualche modo dimostrare che un polinomio di grad...

Ok, effettivamente far stampare ad ogni stagista una copia di tutte le IMO è un enorme spreco di carta. Bisognerebbe correggere la lettera, scrivendo "Sarebbe opportuno che i vari partecipanti, prima dello stage e soprattutto dopo, si ricordino di dare un'occhiata ai problemi delle IMO". C...

Credo che sia così (gli anni scorsi è sempre stato così): nel pdf allegato c'erano le informazioni sullo stage (numeri, indirizzi, elenchi...); nel testo dell'e-mail ci sono le domande a cui devi rispondere.

Non ti è arrivata una e-mail (credo da Ludovico)? In essa ci dovrebbe anche essere l'allegato con la lettera di convocazione ufficiale.

Le lettere ufficiali di convocazione agli stages adesso sono spam! O tempora, o mores!

Se nulla è cambiato rispetto agli anni scorsi, dovrebbe esservi arrivata una e-mail principale con allegata un'altra lettera (in pdf); nel pdf si fa riferimento alla stessa e-mail con cui vi è giunto il pdf, nel testo della quale e-mail dovrebbero esserci alcune domande come "Come ti chiami? E'...