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Purtroppo non ho il tempo di aspettare conferme da belcolon, per cui ho messo qua il nuovo problema. Chi lo risolve metta pure quello nuovo senza chiedermi conferma

Sia $ABC$ un triangolo di circocentro $O$ e $A'$ il simmetrico di $A$ rispetto a $O$. La tangente alla crf circoscritta in $A'$ interseca $BC$ in $S$ e $SO$ interseca $AB,AC$ in $M,N$ rispettivamente. Mostrare che $OM=ON$.

Fatto noto: se una retta passa per $H$, le sue simmetriche rispetto ai lati del triangolo concorrono sulla crf circoscritta. Hint per dimostrarlo: Lo dimostro per una retta particolare e poi guardo come si muovono le simmetriche al variare della retta per $H$ :wink: Chiamo $P_a,P_b,P_c$ i simmetrici...

Un'altra simile senza inversione: Anch'io suppongo che le tre circonferenze siano esterne rispetto al triangolo. L'omotetia di centro $K$ che manda la circonferenza relativa ad $A$ nella crf. circoscritta $\Gamma$ manda anche $BC$ nella parallela a $BC$ che tange $\Gamma$ in $A_1$, da cui $K,D,A_1$ ...

Uso i nomi che ha dato belcolon e chiamo anche $B'$ il punto di tangenza con $t$ della crf. di centro $B$. Osservo che $\angle AFM=\angle CGC'$, quindi $AF=\frac{AM}{\sin\angle AFM}=\frac{AM}{\sin\angle CGC'}$, ma $AM=|AB-\frac{AB+AC}{2}|$, quindi $AF=|\frac{AB-AC}{2\sin\angle CGC'}|=|\frac{BB'-CC'}...

Corretto! Qua il 14..
P.S.: qual era la fonte del problema?

Abbiamo un quadrilatero convesso $ABCD$. Poniamo $E=AB\cap CD$, $F=AD\cap BC$ e $P=AC\cap BD$. Chiamiamo anche $H$ la proiezione di $P$ su $EF$.
Mostrate che $\angle BHC=\angle AHD$.

http://img847.imageshack.us/img847/746/kalu.png Siano $K$ il punto medio di $AC$, $\Gamma$ la crf. di diametro $AC$ (e centro $K$) e $S$ l'ulteriore intersezione di $AP$ con $\Gamma$. Ovviamente $M,Q\in\Gamma$ ($\angle AMC$ è retto). Essendo $PN\perp NQ$, basta mostrare che $PQMN$ è ciclico, cioè c...

$\omega$ tange $AK$ e $BK$ in $M$ e $N$. Do per buono un lemma di cui si è parlato al PreIMO 2010 (l'hint di questo topic ): $I\in MN$ (vale per qualunque $K$ su $BC$! 8) ) $K$ è il punto di tangenza della circonferenza exscritta opposta ad $A$. Siano $P, Q$ tali che l'omotetia di centro $H$ e fatto...

Qui il 101..

Abbiamo un numero razionale $x=\frac{p}{q}$, con $p>q>0$ e $(p,q)=1$, e sappiamo che esiste un reale $\alpha$ tale che, per ogni $n\in\mathbb{N}$ sufficientemente grande, $|\{x^n\}-\alpha|\le\frac{1}{2(p+q)}$. Trovate tutti i possibili valori di $x$. N.B.: $\{x\}$ indica la parte frazionaria di $x$;...

Poniamo $m=\lfloor x_1\rfloor$. Sia $y_i$ il primo termine della successione tale che $\lfloor y_i\rfloor\ge m+i$, per ogni $i>0$. È facile vedere che è proprio $\lfloor y_i\rfloor = m+i$ (per ogni $i$). Quello che facciamo sulla frazione $x_1$ è aggiungerle tanti termini $\frac{1}{m}$ finché la sua...

È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$

amatrix92 ha scritto:La tesi vuol dire che quel valore non è mai intero

Rileggi il testo

bĕlcōlŏn ha scritto:$abc=1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{1}{ab+b+1}=1$
che, non so a voi, ma a me sembra quasi un miracolo

Con $a=\frac{x}{y},\ b=\frac{y}{z},\ c=\frac{z}{x}$ è già meno miracoloso