OliForum Matematico

Ho un dubbio: applicando la mossa b) la configurazione si aggiorna solo dopo aver sistemato lo stato di tutte le lampadine? Oppure si aggiorna ogni volta che una lampadina cambia stato? Prima interpretazione. Se ho interpretato bene (prima interpretazione) dovrebbe venire $3\cdot 2^{n-2}$ con $n$ p...

Determina tutti gli interi $n>1$ tali che esista un unico intero $0\leq a<n!$ per il quale: $$n!|a^n+1$$

Ma che poi in realtà una dimostrazione elementare forse esiste. Innanzitutto notiamo che basta dimostrare la tesi per $n\mid p-1$. Infatti, preso $n\mid p-1$ e $k$ tale che $(k, \frac{p-1}{n})=1$, si ha che i residui $n$-esimi sono uguali ai resuidi $nk$-esimi, perciò se $n$ va bene per $nk$ basta p...

Troleito br00tal ha scritto:own

Mi prostro. Perdonate la spam.

Sia $T_A$ l'intersezione tra $BC$ e la tangente comune all'incerchio e alla circonferenza per $B, C$. $T_A$ ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze, quindi $$T_AB\cdot T_AC=T_AX^2=T_AP^2$$ Usando la notazione standard si ha $BC=a$, $\displaystyle BP=\frac{a+c-b}{2}$, $\displaystyle PC=\...

Si

Siano $a, b>1$ interi tali che $ab=2^n-1$ per qualche $n$.
Detto $v_2(k)=max\{x\ : \ 2^x\mid k\}$, si dimostri che $$2|v_2(ab+a-b-1)$$

Dato che la risposta di Karl tarda ad arrivare, se qualcuno esperto mi desse conferma dell'esattezza della soluzione andrei avanti con il prossimo.

Un forumista di AoPS lo dava per noto risolvendo in 5 righe un problema che in 5 righe non poteva essere risolto (http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=49&t=35309), e io solo per capire perchè era vero ci ho messo un'ora e mezza. Dato un quadrilatero $ABCD$ circoscritto ad una...

L'angolo $\angle BAC$ sul circocerchio e l'angolo $\angle QAP=180-\angle BAC$ sulla crf. per $A$ e $O$ insistono su archi congruenti, quindi per il teorema del seno le due circonferenze hanno lo stesso raggio. Ne consegue che, detto $O'$ il centro della seconda crf, $\triangle AOO'$ è equilatero, e ...

In un altro modo ancora: Sia $P$ l'intersezione fra $AB$ e la parallela a $BC$ condotta da $K'$; $I_A$ l'excentro; $Q$ la proiezione di $I$ su $AB$. Si nota per angle chasing che $\triangle K'IP \approx \triangle BKI \approx \triangle BI_AJ $ Quindi $\displaystyle\frac{PK'}{BJ}=\frac{PI}{BI_A}=\frac...

Ok vai pure

Preso un triangolo $ABC$ di incentro $I$, siano $K$ e $J$ i punti di tangenza di $BC$ rispettivamente con l'incerchio e l'ex-cerchio opposto ad $A$.
Detto $K'$ il simmetrico di $K$ rispetto a $I$, dimostrare l'allineamento $A, \ K', \ J$.

$$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ \triangle BCE \approx \triangle CDE \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ CE^2=BE\cdot DE$$ Inoltre $$CE=PE$$ $$BE=\frac{ER}{\tan \angle RBE}$$ $$DE=EA \cdot \tan \angle DAE$$ Quindi $$\angle BCD=90 \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ PE^2=ER\cdot EA \cdot \frac{\tan \angle...

Data la bruttezza della soluzione (ma la staffetta must go on) tanto vale almeno generalizzare. Fissato un intero $k>1$, consideriamo la funzione $$f(n)=d((n^2+1)^k)$$ Dimostriamo innanzitutto che vale definitivamente: $$f(n!)^{2}<n!^2+1$$ $$f(n!)^2=\prod_{p\mid n!^2+1}{(kv_p(n!^2+1)+1)^2}\leq \prod...