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Quando ti rifai a Cauchy dimentichi di avere $x^2$ al posto di $x$ quindi la tua dimostrazione non funziona, prova a completarla...

Data l'equazione $$f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$$ risolverla con:
1) $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$
2) $f:\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}$

Dato che il problema è stato postato solo 2 ore fa metto la soluzione nascosta: SOLUZIONE: $q=2p+1|2^{2p}-1=(2^p-1)(2^p+1)$ e dato che $q$ è primo mi basta dimostrare che non divide il secondo fattore. Suppongo per assurdo che $q|2^p+1$ quindi $2^p\equiv -1(q)$ e di conseguenza ord $_q(2)|2p$. 1) se...

Rilancio!!!
Trovare tutte le soluzioni.

Oggi ho voglia di postare e quindi metto la mia soluzione: L'equazione si riscrive come $a^2-pba+(b^2+p)=0$ Se la coppia $(a,b)$ è soluzione (wlog $a>b$) chiamo $x$ la seconda soluzione del polinomio scritto sopra in $a$. Il procedimento si chiama Vieta jumping quindi devo usare le formule di Viete:...

Sostituisco a $x:=dx$ e $y:=dy$ con $(x,y)=1$. L'equazione diventa $2dx^2+x=3dy^2+y$ da cui si deduce che $d|x-y$. Raccogliendo come aveva fatto stergioss si ottiene $(x-y)(2dx+2dy+1)=dy^2$, sapendo che $(x,y)=1$ di deduce che $x-y|d$. Ho due casi: 1) $x=y$ quindi l'unica soluzione è $(0,0)$ 2) $d=x...

Hawk ha scritto:Ho provato ad usare la discesa infinita, ma mi è venuto qualcosa di strano. L'unica soluzione è data (a,b)=(1,2)

Non desistere...spiega come hai ottenuto che le uniche soluzioni sono (1,2) (non è proprio vero, ma...) scrivendo i passaggi che hai fatto.

$a+ib$ è primo se ha modulo diverso da 1 e non si può scrivere come prodotto di altri due numeri (con modulo diverso da 1) della forma $x+iy$ con $x,y\in \mathbb{Z}$

E' possibile disegnare un grafo non piano su un toro?

Propongo un'altra idea...scompongo $p$ in $\mathbb{Z }$. I primi congrui a 3 modulo 4 rimangono primi mentre i primi congrui a 1 modulo 4 si scompongono in esattamente 2 fattori "primi". [questi fatti sono noti anche se non ricordo tutti i passaggi della dimostrazione]. Detto questo $(a+ib...

L'hint di LeZ mi sembra inutile...modulo 4 puoi arrivare a dire che $q\equiv 1 (4)$, ma non ti serve a niente per la discesa infinita.... Puoi fare direttamente la discesa, che non ti dice che l'unica soluzione è (1,2) ma qualcos'altro... Adesso abbiamo parlato abbastanza, qualcuno posti una soluzio...

HINT:

Mist ha scritto: $ -a^2b^2c^2<1 $

Hai di nuovo dimenticato un $+1$, ma tutto si risolve notando che $-a^2b^2c^2\leq 0$

Posto una quasi soluzione... Divido in due casi: 1) Se esistono $a,b$ tali che $y(a)=y(b)$ allora per waiestrass la funzione ha massimo e minimo nell'intervallo $[a,b]$. Se il massimo non è agli estremi allora esiste $c$ tale che $y'(c)=0$ e $y''(c)<0$ che contraddice l'ipotesi (lo stesso vale per i...

Ma non sai se sono dipendenti o indipendenti...e poi nel testo iniziale fra parentesi dice che siamo in grado di individuare l'algoritmo.
Quindi servono chiarimenti da Omar93.