OliForum Matematico

wlog $a\ge b\ge c$. Riscrivo il tutto come: $\frac 1 2(a-1)^2+\frac 1 2(b-1)^2+\frac 1 2(a-b)^2+(c-1)^2+c(a-1)(b-1)\ge 0$ Se $c\ge 1$ allora $a\ge b\ge c\ge 1$ quindi l'ultimo termine è positivo e siamo a posto. Se $c\le 1$ allora $\frac 1 2((a-1)^2+(b-1)^2)\ge |(a-1)(b-1)|\ge c(a-1)(b-1)$ e di nuov...

ok finalmente ce l'ho fatta! Inizialmente avevo abbandonato la strada della norma crescente poi il suggerimento mi ha dato nuova fiducia xD metto quello che ho pensato sperando sia giusto, se volete provare per conto vostro non leggete :) in generale dati 2 vettori u,v e indicando con $|u|,|v|$ le l...

Nessuno??

up! Qualche idea? Io che sono piuttosto arrugginito ho trovato che funzionano i polinomi del tipo: più ovviamente quello nullo... credo siano gli unici ma non son riuscito a dimostrarlo!

amico hai delle idee sulle funzioni un po' molto confuse xD

hai sbagliato il verso alla fine... in realtà potresti accorgerti che con HM-GM è impossibile che venga perchè se un t_i andasse a 0 e tutti gli altri a infinito (caso limite) la somma dei reciproci andrebbe a infinito...

significa che senza O come punto di partenza la tesi sarebbe banalmente falsa perchè basterebbe prendere $P_i=(n-i+1,\frac 1 2)$

allora sono curioso di vedere la tua soluzione :) io ho pensato di fare cosi: lasciando perdere tutte le cose già viste in questo post partiamo direttamente già sapendo che f(-1)=-1/2 f(-1/2)=0 f(0)=1/2 quindi $f(x+\frac 1 2)=f(x)+\frac 1 2$ come già notato da matty. Di conseguenza $f(x+n)=f(x)+n$ c...

immagino si sia anche $OP_1$...

$f(x+1/2)=f(f(x)) \implies f(x)=x+1/2$ questo è il punto cruciale, per poter dire ciò devi sapere che la funzione è iniettiva che comuque pare l'unica strada possibile, ed effettivamente si riesce a dimostrare ma non è per nulla facile, provaci! Bisogna partire dall'ipotizzare che esistano a e b di...

ma da quando si usa analisi 2 alle olimpiadi?? Si vede che son vecchio ormai! Una soluzione molto easy: attraverso poche semplici manipolazioni algebriche la disuguaglianza è equivalente a $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {x_i} {n-1+x_i} \ge 1$ ora usiamo CS nel modo più ignorante possibile e trovi...

hintone (che forse è quasi indispensabile se uno non ha mai visto questa cosa): ovviamente se non lo conoscevate provate a dimostrarlo

grazie per il typo, ora ho corretto! Comunque la tua proposta che in effetti è l'AM-GM pesata che dicevo (solo che io consideravo il tutto a "coppie") ha quel tocco di eleganza in più che cercavo, complimenti

dato che nessuno risponde e io ho tempo da perdere piazzo la mia orrenda soluzione. Premetto che paradossalmente con le derivate non sono riuscito a farlo perchè veniva un obrobrio mai visto. Allora riscrivo la funzione come: $\displaystyle f(x)=\frac {x+x^2...+x^{n-1}}{1+x^n}+\frac {x^n}{(1+x^n)^2}...

altra soluzione:
per cauchy schwarz $ \displaystyle x\sqrt y+y\sqrt z+z\sqrt x \le \sqrt{(xy+yz+xz)(x+y+z)} $
da qui in poi sono solo pochi conti