OliForum Matematico

Bene Vai pure con il 57!

UP! Vi do ancora 2 giorni poi se nessuno ha qualcosa in contrario metto la soluzione

Giusto per non lasciare niente in sospeso risolvo anche il (brutto :lol:) problema di gibo92: \displaystyle~7^n+2^n=16+x^2 n > 1, quindi \displaystyle~(-1)^n\equiv x^2\pmod 4 da cui \displaystyle~n=2m per qualche m. Supponiamo m > 2: \displaystyle~x^2-7^{2m}=4^m-16>0 , quindi \displaystyle~x\ge 7^m+...

Davvero complimenti, ci sono un bel po di belle idee dietro :) Mi piacerebbe sapere come sei arrivato alla riscrittura in Pell Standard... capisco l'elevare al quadrato, ma io non avrei mai "visto" quei quadrati. Grazie :D Usando le notazioni del pdf, se sai che per un certo g vale \displ...

Chiamiamo A l'insieme dei reali esprimibili come \displaystyle~a+b\sqrt{7} con \displaystyle~a,b\in\mathbb{Z} (si vede facilmente che a e b sono univocamente determinati). Questo insieme è chiuso rispetto ad addizione e moltiplicazione. Possiamo estendere il concetto di congruenza \displaystyle~\pmo...

Forse ho una soluzione, se mi date tempo fino a stasera la scrivo..

Un limite interessante. (grazie jordan non lo conoscevo :D) Vale \displaystyle~\lim_{u\to+\infty}\sum_{i=1}^{\lfloor u\rfloor}\frac{u^2(u-i)}{(u^2+i^2)^2}=\frac{\pi}{8} . Infatti, per \displaystyle~u>1 fissato, posto \displaystyle~f(u,i)=\frac{u^2(u-i)}{(u^2+i^2)^2} vale: \displaystyle~\sum_{i=1}^{...

La somma converge in quanto \displaystyle~1\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)}\le 1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\text{lcm}(n-1,n)} \displaystyle~=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-1)n}=1+\sum_{n=2}^\infty\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=2 . Chiamiamo ora \displaystyle~q_i l'i-esim...

Si può anche risolvere direttamente l'equazione più generale:
$ ~7^x+2^z=3^y $

Alcune soluzioni che purtroppo non stanno su quei tre piani (con z > y > x):
(-1;1;2)
(55;85;100)
(60;75;105)
(115;161;184)
(175;205;260)
(155;250;265)
(259;266;497)
(650;715;845)
(736;943;989)
alcune appartengono al piano 2(z-y)=y-x

Si può riscrivere così \displaystyle~x^2+y^2+z^2=(z-x)(z-y)(y-x) Esistono infinite terne \displaystyle~(x,y,z) con \displaystyle~z-y=y-x . Ponendo infatti \displaystyle~z-y=y-x=a otteniamo \displaystyle~x^2+(x+a)^2+(x+2a)^2=2a\cdot a\cdot a \displaystyle~3x^2+6ax+a^2(5-2a)=0 \displaystyle~\frac{\Del...

Si può migliorare un po' la situazione: da \displaystyle~(b+c-2a)^6+(c+a-2b)^6+(a+b-2c)^6\ge 0 dividendo per 3 e semplificando \displaystyle~\sum(11 a^6 + 105 a^4b^2 + 60 a^4bc + 60 a^2b^2c^2) \ge \sum(66 a^5b + 50 a^3b^3 + 120 a^3b^2c) da cui \displaystyle~\sum(11 a^6 + 657 a^4b^2 + 132 a^2b^2c^2) ...

Tra l'altro pure della mia e della tua scuola (almeno fino a 1 anno fa, quando il Marconi e il Delpino si sono separati)

No di solito a Genova ce la offrono

Io anche nella peggiore delle ipotesi ho fatto almeno 60, quindi non mi lamento (in realtà sarò sui 70).. Chissà quant'è il cut-off per Genova? Oltre al problema di Dante era carino quello della quaterna di numeri con MCD = 1. Se vi interessa l'ho fatto così: - escludo il caso in cui tutti i divisor...