87. Dai niente complessi, mia cara (equazione)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gottinger95
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87. Dai niente complessi, mia cara (equazione)

Messaggio da Gottinger95 »

Se \(a_1, \ldots, a_n\) sono numeri reali, distinti e non nulli, dimostrare che l'equazione
\[\frac{a_1}{a_1 - x} + \ldots + \frac{a_n}{a_n-x} = n\]
ha almeno \(n-1\) radici reali e distinte.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
spugna
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Re: 87. Dai niente complessi, mia cara (equazione)

Messaggio da spugna »

Poniamo $a_1<a_2<...<a_n$: abbiamo dunque $n-1$ intervalli aperti del tipo $(a_i,a_{i+1})$, tutti chiaramente disgiunti a due a due, per cui è sufficiente mostrare che in ognuno di essi esiste una $x$ che risolve l'equazione.
Se $a_{i+1}<0$ si ha $\lim_{x \rightarrow a_i^+} LHS=+\infty$ e $\lim_{x \rightarrow a_{i+1}^-} LHS=-\infty$, ed essendo $LHS$ una funzione continua nell'intervallo esiste sicuramente un punto in cui essa si annulla; se $a_i>0$ si procede in modo analogo, mentre se $a_i<0<a_{i+1}$ l'intervallo contiene lo $0$, che è sempre una soluzione
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)
Gottinger95
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Re: 87. Dai niente complessi, mia cara (equazione)

Messaggio da Gottinger95 »

Bene! Posto un'altra soluzione che ho trovato su aops che trovo molto istruttiva, dunque ti passo il testimone :D

Sia \(p(x) = (a_1-x) \cdot \ldots \cdot (a_n-x)\). Riscriviamo come
\[ \frac{xp'(x)}{p(x)} = \frac{x}{a_1-x}+ \ldots+ \frac{x}{a_n-x}= 0\]
Visto che \(p(x)\) ha \(n\) soluzioni reali e distinte per definizione, \(p'(x)\) ha \(n-1\) soluzioni reali e distinte; perciò \(LHS\) ha \(n\) soluzioni reali, di cui \(n-1\) distinte più lo 0 (che viene dalla \(x\) moltiplicata), che è leggermente più forte della tesi del problema.
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mat94
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Re: 87. Dai niente complessi, mia cara (equazione)

Messaggio da mat94 »

Gottinger95 ha scritto:\(p'(x)\) ha \(n-1\) soluzioni reali e distinte; perciò \(LHS\) ha \(n\) soluzioni reali, di cui \(n-1\) distinte più lo 0 (che viene dalla \(x\) moltiplicata), che è leggermente più forte della tesi del problema.
Se p(x) ha n soluzioni, p'(x) ne ha almeno n-1 (conseguenza teorema di Rolle) e non esattamente n-1 o sbaglio?
Gottinger95
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Re: 87. Dai niente complessi, mia cara (equazione)

Messaggio da Gottinger95 »

E' vero, per una funzione in generale potrebbero esserci altri zeri della derivata oltre agli \(n-1\) assicurati da Rolle; ma per un polinomio, se \(p(x)\) ha grado \(n\) e ha \(n\) radici, il polinomio \(p'(x)\) per Rolle ha almeno \(n-1\) radici, ma ne ha al massimo \(n-1\) perchè \(\deg(p'(x) ) = n-1\). Perciò ne ha esattamente \(n-1\).
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