Una goccia che cade.

[SkZ]

Io ho trovato come soluizione g/2. però ho fatto l'approssimazione, e non so quanto possa essere vera, che il raggio via via crescente della goccia che cade non influisca sulla frequenza degli urti, cioè che l'intervallo di tempo $ \Delta t $ tra un urto e l'altro sia sempre lo stesso.

Mi spiace ma entrambe le approssimazioni sono sbagliate
1) dire che la dimensione della goccia non influisce sul numero di urti vuol dire che la sezione d'urto e' infinitesima ergo gli urti sono trascurabili (hai in pratica gocce puntiformi).
2) se il rate di aumento di massa $ ~\dot{m} $ e' costante vuol dire che la densita' decresce abbassandosi di altitudine e non ha molto senso

per approssimazioni abbastanza sensate si puo' ritenere le gocce sferiche (ergo sez d'urto $ ~\approx 4\pi r^2 $).
Certo che se la dimensione iniziale della goccia fosse molto maggiore delle goccioline in sospensione sarebbe piu' facile (l'aumento di massa ad ogni urto puo' essere considerato molto piu' piccolo della massa totale e quindi un infinitesimo ed e' piu' ragionevole se consideri l'aumento come continuo)

[Pigkappa]

Certo che se la dimensione iniziale della goccia fosse molto maggiore delle goccioline in sospensione sarebbe piu' facile (l'aumento di massa ad ogni urto puo' essere considerato molto piu' piccolo della massa totale e quindi un infinitesimo ed e' piu' ragionevole se consideri l'aumento come continuo)

Sì sì, si può fare, mi scuso se non si capiva bene. Il fatto di dire che le dimensioni iniziali sono piccole l'ho detto male, volevo dire che sono piccole rispetto a quello che diventeranno in seguito. Serve solo per non doversi portare dietro un termine $ \displaystyle R_0 $ fastidioso.

io non ci sto proprio? (a proposito: ho corretto una stronzata che avevo scritto )

Direi di no... Il mondo (macroscopico) è continuo, non cercate di discretizzarlo arbitrariamente!

[SkZ]

In verita' il caso piu' semplice e' appunto quello in cui le dimensioni iniziali sono dell'ornine di grandezza di quelle finali
Anche perche' un agoccia che sia gia' molto piu' grande di quelle in sospensione e che durante la caduta diventa molto piu' grande ancora ha bisogno di nuvole veramente enormi o molto dense (e poi non sono fattibili dato che a quel punto l'interazione con l'aria non e' piu' trascurabile)

[Fedecart]

Se teniamo conto della soluzione di Rigel, e teniamo anche conto che quando il raggio si k-uplica la quantità di collisioni in un intervallo di tempo $ \delta t $ diventa uguale a $ k^3 $ si arriva a qualcosa di sensato?

[Pigkappa]

quando il raggio si k-uplica la quantità di collisioni in un intervallo di tempo $ \delta t $ diventa uguale a $ k^3 $

Perchè mai?

[Fedecart]

La densità della goccia è uguale sia all'inizio che lla fine, perchè si tratta pur sempre di acqua. Quindi chiamata m la massa all'inizio, cerco di trovarmi il raggio dopo l'n-esima collisione.
Posso scrivere
$ d=\frac{m}{V}=\frac{nm}{V_n}=\frac{mn}{\frac{4}{3}\pi {r_n}^3}=\frac{3mn}{4\pi {r_n}^3} $
da cui $ 4d\pi {r_n}^3 = 3mn $ e infine $ n={r_n}^3 \frac{4d\pi}{3m} $
Quindi, essendo $ \frac{4d\pi}{3m} $ una quantità che non varia col tempo, si può affermare che il numero delle collisioni in un intervallo di tempo scelto in modo arbitrario è proporzionale a $ r^3 $...
Dimmi dove sbaglio Pig

[SkZ]

La densità della goccia è uguale sia all'inizio che lla fine, perchè si tratta pur sempre di acqua. Quindi chiamata m la massa all'inizio, cerco di trovarmi il raggio dopo l'n-esima collisione.
Posso scrivere
$ d=\frac{m}{V}=\frac{nm}{V_n}=\frac{mn}{\frac{4}{3}\pi {r_n}^3}=\frac{3mn}{4\pi {r_n}^3} $
da cui $ 4d\pi {r_n}^3 = 3mn $ e infine $ n={r_n}^3 \frac{4d\pi}{3m} $
Quindi, essendo $ \frac{4d\pi}{3m} $ una quantità che non varia col tempo, si può affermare che il numero delle collisioni in un intervallo di tempo scelto in modo arbitrario è proporzionale a $ r^3 $...
Dimmi dove sbaglio Pig

sbagli perche' il numero delle collisioni e' proporzionale a $ $\Delta M=m\Delta n $. posto $ $\lambda^3=\frac{3m}{4d\pi} $
Considerando infinitesimi $ $\textrm{d}m=\frac{3r^2}{\lambda^3}\textrm{d}r $
e considerato che la sezione d'urto e'$ $\propto r^2 $, torna

[Fedecart]

Davvero non capisco! Mi dispiace...

[CoNVeRGe.]

$ $\frac{3r^2}{\lambda^3}\textrm{d}r $

ma non deve avere le dimensioni di una massa questo?

[SkZ]

Allora il numero delle collisioni e' $ $\Delta n=n'-n=\frac{r_{n'}^3}{\lambda^3}-\frac{r_{n}^3}{\lambda^3} $
posto $ ~r_{n'}=r_{n}+\Delta r $, svolgendo i calcoli e considerando solo i termini al massimo lineari in $ ~\Delta r $ (consideriamo $ ~\Delta r\ll r $ quindi i termini con potenze maggiori sono "trascurabili" come si suol dire), ottieni
$ $\Delta n=\frac{3r^2}{\lambda^3}\Delta{d}r $

La teoria ci dice che il numero di collisioni per unita' di tempo per proiettile e' pari a
$ ~N=\sigma \rho v $
con $ ~\sigma $ la sezione d'urto (si puo' dire un superficie caratteristica nel processo di collisione) e $ ~\rho $ densita' dei bersagli e v velocita' relativa.

PS: si' Converge, mancava un m

[BMcKmas]

Scusate, ma mi sono un po' perso nel vostro ragionamento.

Avrei queste considerazioni per l'interessante problema:

1) non è difficile trovare le condizioni asintotiche e in particolare dimostrare che a regime il moto è uniformemente accelerato con $ a=g/7 $

2) per il moto in generale (con generici: raggio iniziale e velocità iniziale) si ottiene una equazione differenziale del secondo ordine non lineare nell'incognita $ R(t) $ che dubito si possa integrare in forma analitica (almeno io non so farlo)

3) in questa equazione, che ovviamente descrive anche il transitorio, compare il rapporto tra la densità della nebbia e quella dell'acqua, tale quantità dovrebbe quindi deve essere fornita nei dati.

ciao

[Pigkappa]

Bastava trovare l'equazione e il moto a regime, si assume che la goccia arrivi a regime abbastanza presto. Era quello che cercavo di dire mettendo bene le condizioni iniziali.

1) non è difficile trovare le condizioni asintotiche e in particolare dimostrare che a regime il moto è uniformemente accelerato con a=g/7

Comunque secondo me non è neanche tanto facile...

[BMcKmas]

Tutto è relativo. Io pensavo che si dovesse risolvere l'equazione e la sua parte asintotica mi era sembrata facile!
Non volevo fare il gradasso!

[SkZ]

posto $ ~\textrm{d}m=4\pi r^2v\rho \textrm{d}t $ con $ ~\rho $ densita' delle goccioline.
supponiamo $ ~\textrm{d}m\ll m $ (ovvero comportamento asintotico), quindi il raggio si puo' considerare costante.
Abbiamo che
$ $\textrm{d}v=g\textrm{d}t-\frac vm\textrm{d}m=g\textrm{d}t-\frac{4\pi r^2\rho}{m}v^2 \textrm{d}t $
ovvero variazione per gravita' e per urti anelastici
Posto $ $V^2=\frac{gm}{4\pi r^2\rho} $
otteniamo
$ $\frac{\textrm{d}v}{V^2-v^2}=\frac g V^2\textrm{d}t $
Supposto $ ~v<V $, si vede facilmente che $ ~v\rightarrow V $ e $ ~\dot{v}\rightarrow 0 $
(limiti uguali anche per $ ~v>V $)

PS: considerate anche l'attrito dell'aria, vedete come cambia e fate considerazioni.

PPS: il calcolo ha una falla: quale?

[BMcKmas]

PPS: il calcolo ha una falla: quale?

Forse che $ V $ non è costante?