riguardando questo viewtopic.php?t=11856 vecchio topic, m'è venuta voglia (non chiedetemi come mai) di provare ad arrivare fino alla progressione aritmetica di ordine 1 (ho provato solo con k=2 e k=3 xD)... essendomi accorto che per k=2 era di ragione 2, e per k=3 era di ragione 6, m'è venuto lo strano sospetto che per ogni k fosse di ordine k!..
effettivamente, ho controllato con un programma php fino a k=11 (per k=12 iniziava a dare risultati sballati [differenza tra due termini sucessivi prima 479001599 e poi 479001612, fattoriale 479001600...]).. suppongo (spero) quindi che ciò sia vero
Quindi
A) Dimostrare che le potenze k-esime dei numeri interi formano una progressione aritmetica di ordine k
B) Dimostrare (se è vero e se è fattibile ^^') che la progressione di ordine 1 ottenuta dalle potenze k-esime ha ragione k!
edit: scusate per come l'ho scritto ^^'...
PS: sì, non ho niente di meglio da fare all'1:30 di notte xD
Progressioni... (own)
Allora la a) presuppongo che l'abbia fatta (semplicente perchè ad ogni passo diminuisci di un grado quindi alla fine per forza l'ultime termine è costante)
Per il punto b) inizi con la sequenza di n^k. Quando calcoli la differenza tra due termini consecutivi hai (n+1)^k-n^k. Questa differenza sarà un polinomio di grado k-1 con primo coefficiente kx^(k-1)=q(x). Adesso considera tale sequenza, la differenza q(x+1)-q(x) sarà un polinomio di grad k-2 con primo coefficiente k(k-1)x^(k-2).. (è chiaro adesso?
)
Per il punto b) inizi con la sequenza di n^k. Quando calcoli la differenza tra due termini consecutivi hai (n+1)^k-n^k. Questa differenza sarà un polinomio di grado k-1 con primo coefficiente kx^(k-1)=q(x). Adesso considera tale sequenza, la differenza q(x+1)-q(x) sarà un polinomio di grad k-2 con primo coefficiente k(k-1)x^(k-2).. (è chiaro adesso?
)The only goal of science is the honor of the human spirit.
Domande bonus:
1) Dimostrare che l'i-esimo termine di ogni progressione aritmetica di ordine k può essere scritto come
$ \displaystyle~\sum_{j=0}^k \binom{i}{j}m_j,~~\forall i\ge k $ (se non ho sbagliato i calcoli), per opportuni $ \displaystyle~m_j $
2) Trovare gli $ \displaystyle~m_j $ in funzione di k in modo che la progressione corrisponda alla successione delle potenze k-esime (non so se è fattibile)
1) Dimostrare che l'i-esimo termine di ogni progressione aritmetica di ordine k può essere scritto come
$ \displaystyle~\sum_{j=0}^k \binom{i}{j}m_j,~~\forall i\ge k $ (se non ho sbagliato i calcoli), per opportuni $ \displaystyle~m_j $
2) Trovare gli $ \displaystyle~m_j $ in funzione di k in modo che la progressione corrisponda alla successione delle potenze k-esime (non so se è fattibile)
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)