Propongo un problema carino preso dallo stage senior di qualche anno fa (con una piccola modifica):
Sia data una bilancia a 2 bracci e $ n $ pesetti distinti con massa in grammi di $ k^0;k^1;k^2;...;k^{n-2};k^{n-1} $ con $ k\in \mathbb{N} $; quanti sono le diverse masse pesabili se i pesetti possono essere posizionati a scelta su uno dei 2 piatti?
State attenti alle eccezioni...
Bilancia a 2 bracci
Allora ogni pesetto lo posso mettere su un piatto, sull'altro o fuori dalla bilancia, abbiamo n pesetti distinti quindi li posso disporre in
$ 3^n $ modi, va sottratto un caso in quanto se tutti e 3 stanno fuori non peso niente e diviso per 2 data la simmetria di due piatti della bilancia.
$ \displaystyle \# masse =\frac{3^n-1}{2} $
$ 3^n $ modi, va sottratto un caso in quanto se tutti e 3 stanno fuori non peso niente e diviso per 2 data la simmetria di due piatti della bilancia.
$ \displaystyle \# masse =\frac{3^n-1}{2} $
Allora se $ k=1 $ è come avere $ n $ pesi uguali quindi posso pesare $ n $ masse, per $ k > 1 $ non è possibile che la somma di un numero arbitrario di potenze di $ k $ sia uguale ad un altra non contenente gli stessi elementi o comunque alcuni elementi ripetuti più volte...a sapere dimostrare questo facevo il 4 a Cesenatico, visto che non ci sono riuscito lo lascio ad altri più volenterosi 
Alex90... quello che stai dicendo è falso ;) Pensa al numero 8: è ottenibile come 4+4 :)
Forse vuoi dire un'altra cosa: la scrittura in una data base di un numero n è unica... questo è verissimo :) È anche un fatto noto che non necessita di dimostrazione (deriva quasi direttamente dal fatto che il resto di una divisione tra interi è unico ;) )
In questo problema però non è quanto richiesto...
Pensaci bene perchè non solo devi dimostrare che la somma è sempre diversa... ma anche la sottrazione ;)
p.s. il 4 di Cesenatico si poteva fare in molti modi, ma forse tu ti riferisci alla soluzione che prendeva in considerazione la disuguaglianza stretta (e dimostrabile per induzione, oltre che lemma noto):
$ 2^k>\sum_{i=0}^{k-1}{2^i} $
Forse vuoi dire un'altra cosa: la scrittura in una data base di un numero n è unica... questo è verissimo :) È anche un fatto noto che non necessita di dimostrazione (deriva quasi direttamente dal fatto che il resto di una divisione tra interi è unico ;) )
In questo problema però non è quanto richiesto...
Pensaci bene perchè non solo devi dimostrare che la somma è sempre diversa... ma anche la sottrazione ;)
p.s. il 4 di Cesenatico si poteva fare in molti modi, ma forse tu ti riferisci alla soluzione che prendeva in considerazione la disuguaglianza stretta (e dimostrabile per induzione, oltre che lemma noto):
$ 2^k>\sum_{i=0}^{k-1}{2^i} $
quella è la prima cosa che saltava agli occhi, infatti $ 2^0+2^1+2^2....+2^{n-1} $ è una progressione geometrica e quindi è uguale a $ 2^n-1 $. Comunque questo non bastava a risolvere il problema....dario2994 ha scritto: p.s. il 4 di Cesenatico si poteva fare in molti modi, ma forse tu ti riferisci alla soluzione che prendeva in considerazione la disuguaglianza stretta (e dimostrabile per induzione, oltre che lemma noto):
$ 2^k>\sum_{i=0}^{k-1}{2^i} $
Comunque io avevo letto $ k_n $ invece di $ k^n $. Il solito sbadato....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Maioc92... questo è verissimo perchè io in gara ho scritto 2 pagine piene di cazzate sui numeri binari, le progressioni geometriche, l'induzione in senso generale e una marea di altre scempiaggini ma la soluzione non l'ho vista manco da lontano... difatti mi hanno dato solo 1 misero punticino.
Comunque provate a risolvere il problema entro sto pomeriggio che poi parto xD
Comunque provate a risolvere il problema entro sto pomeriggio che poi parto xD
beh,non è la stessa cosa dire che la scrittura in una certa base è unica e dire che il modo di pesare un determinato peso è unico?? alla fine se esistesse $ a_1,a_2,...a_n $ e $ b_1,b_2,...,b_m $ tc $ k^x=k^a_1+k^a_2+...+k^a_n-(k^b_1+k^b_2+...+k^b_m) $ (intendevo dire "k alla $ a_1 $ più k alla $ a_2 $ ecc ecc) questo vorrebbe dire che abbiamo scritto lo stesso numero (in base 10) in 2 modi diversi in base k...cioè non so se mi sono spiegato...
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....
Pensa al numero 8: è ottenibile come 4+4 
