(x^2+6x+10)p^2(x)-1 è un quadrato
(x^2+6x+10)p^2(x)-1 è un quadrato
(VietnamTST 2002) Trovare tutti i polinomi $ P(x) \in \mathbb{Z}[x] $ tali che $ Q(x):=(x^2+6x+10)P^2(x)-1 $ è il quadrato di qualche polinomio a coefficienti interi.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
provo a postare la mia soluzione anche se forse non è molto elegante...
Poniamo $ Q(x)=R^2(x) $.Sostituiamo x=-3 e troviamo $ R^2(-3)=P^2(-3)-1 $. Poichè R(-3) e P(-3) sono interi,gli unici quadrati che differiscono di uno sono 1 e 0, quindi $ R^2(-3)=0 $ e $ P^2(-3)=1 $. Ma allora per Ruffini $ Q(x)=R^2(x)=(x+3)^2q^2(x) $ con q(x) polinomio a coefficienti interi. Riscriviamo quindi l'equazione di partenza:
$ (x+3)^2q^2(x)=(x^2+6x+10)P^2(x)-1 $,da cui ricaviamo che $ deg(q(x))=deg(P(x)) $. Ora possiamo riscrivere come
$ (x+3)^2(q^2(x)-P^2(x))=P^2(x)-1 $
Supponiamo ora per assurdo che sia $ deg(q^2(x)-P^2(x))+2=deg(P^2(x)) $:allora scrivendo i polinomi nella forma canonica
$ \displaystyle q^2(x)=(\sum_{i=0}^n a_ix^i)^2 $
$ \displaystyle P^2(x)=(\sum_{i=0}^n b_ix^i)^2 $
è facile vedere che se si ha $ a_n^2=b_n^2 $ e $ 2a_na_{n-1}=2b_nb_{n-1} $ allora si ha anche $ a_{n-1}^2=b_{n-1}^2 $. Quindi abbiamo trovato un assurdo.
Pertanto, poichè è impossibile che $ deg(LHS)=deg(RHS) $, l'unica possibilità è $ q^2(x)=P^2(x)=1 $
Quindi le uniche due soluzioni sono $ P(x)=1 $ e $ P(x)=-1 $
Può andare come soluzione o ho sbagliato qualcosa?
Poniamo $ Q(x)=R^2(x) $.Sostituiamo x=-3 e troviamo $ R^2(-3)=P^2(-3)-1 $. Poichè R(-3) e P(-3) sono interi,gli unici quadrati che differiscono di uno sono 1 e 0, quindi $ R^2(-3)=0 $ e $ P^2(-3)=1 $. Ma allora per Ruffini $ Q(x)=R^2(x)=(x+3)^2q^2(x) $ con q(x) polinomio a coefficienti interi. Riscriviamo quindi l'equazione di partenza:
$ (x+3)^2q^2(x)=(x^2+6x+10)P^2(x)-1 $,da cui ricaviamo che $ deg(q(x))=deg(P(x)) $. Ora possiamo riscrivere come
$ (x+3)^2(q^2(x)-P^2(x))=P^2(x)-1 $
Supponiamo ora per assurdo che sia $ deg(q^2(x)-P^2(x))+2=deg(P^2(x)) $:allora scrivendo i polinomi nella forma canonica
$ \displaystyle q^2(x)=(\sum_{i=0}^n a_ix^i)^2 $
$ \displaystyle P^2(x)=(\sum_{i=0}^n b_ix^i)^2 $
è facile vedere che se si ha $ a_n^2=b_n^2 $ e $ 2a_na_{n-1}=2b_nb_{n-1} $ allora si ha anche $ a_{n-1}^2=b_{n-1}^2 $. Quindi abbiamo trovato un assurdo.
Pertanto, poichè è impossibile che $ deg(LHS)=deg(RHS) $, l'unica possibilità è $ q^2(x)=P^2(x)=1 $
Quindi le uniche due soluzioni sono $ P(x)=1 $ e $ P(x)=-1 $
Può andare come soluzione o ho sbagliato qualcosa?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
giusto....comunque ho riprovato e forse questa volta la soluzione è quella giusta:
eliminando l'ultimo pezzo della soluzione precedente ma recuperando la prima parte poniamo $ Q(x)=(x+3)^2q^2(x) $ e $ P^2(x)=(x+3)^2p^2(x)+1 $ e sostituiamo. Svolgendo i calcoli troviamo
$ q^2(x)=(x^2+6x+10)p^2(x)+1 $
Ripetendo lo stesso ragionamento di prima possiamo scrivere $ q^2(x)=(x+3)^2q_1^2(x)+1 $ e $ p^2(x)=(x+3)^2p_1^2(x) $.
Torniamo a sostituire e troviamo $ q_1^2(x)=(x^2+6x+10)p_1^2(x) $
A questo punto abbiamo che la fattorizzazione di $ q_1^2(x) $ è il prodotto di un polinomio al quadrato e di un trinomio che invece non possiamo scomporre in $ \mathbb Z $ (e nemmeno in $ \mathbb R $). Quindi l'unica possibilità è $ q_1^2(x)=p_1^2(x)=0 $, che porta alle stesse due soluzioni di prima. Questa volta spero sia giusto....
eliminando l'ultimo pezzo della soluzione precedente ma recuperando la prima parte poniamo $ Q(x)=(x+3)^2q^2(x) $ e $ P^2(x)=(x+3)^2p^2(x)+1 $ e sostituiamo. Svolgendo i calcoli troviamo
$ q^2(x)=(x^2+6x+10)p^2(x)+1 $
Ripetendo lo stesso ragionamento di prima possiamo scrivere $ q^2(x)=(x+3)^2q_1^2(x)+1 $ e $ p^2(x)=(x+3)^2p_1^2(x) $.
Torniamo a sostituire e troviamo $ q_1^2(x)=(x^2+6x+10)p_1^2(x) $
A questo punto abbiamo che la fattorizzazione di $ q_1^2(x) $ è il prodotto di un polinomio al quadrato e di un trinomio che invece non possiamo scomporre in $ \mathbb Z $ (e nemmeno in $ \mathbb R $). Quindi l'unica possibilità è $ q_1^2(x)=p_1^2(x)=0 $, che porta alle stesse due soluzioni di prima. Questa volta spero sia giusto....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!