Boh, non l'ho trovato da nessuna parte.
Determinare quanti sono i numeri reali $ ~x $ tali che $ ~0 \leq x \leq \pi $ e
$ \log_4|\sin 4x | + \left |\log_2 \sqrt{|\cos x|} \right | = 0 $.
sns03.2
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
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$ \displaystyle \log_4|\sin 4x | + \left |\log_2 \sqrt{|\cos x|} \right | = 0 $
Cominciamo col notare che
$ \displaystyle \log_4 a = \frac{1}{2} \log_2 a $
e che
$ \displastyle \log_2 a^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 a $
Da ciò si ha
$ \displaystyle \log_2 |\sin 4x| + \left | \log_2 | \cos x | \right | = 0 $
Lavoriamo ora nell'intervallo $ [0;\pi /4] $: $ \sin 4x $ e $ \cos x $ sono sempre positivi, mentre il logaritmo in base $ ~2 $ di un numero compreso tra $ ~0 $ e $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} $ è sempre negativo, si ha quindi:
$ \displaystyle \sin 4x = \cos x \Rightarrow 4 \sin x (1 - 2 \sin^2 x) -1 = 0 $
$ (4\sin^2 x + 2\sin x -1)(2 \sin x -1) = 0 $
Da cui si ottiene $ x=\pi / 6 $ e $ x = \pi /10 $
Analizzando anche gli altri 3 intervalli si dovrebbero ottenere tutte le soluzioni
Cominciamo col notare che
$ \displaystyle \log_4 a = \frac{1}{2} \log_2 a $
e che
$ \displastyle \log_2 a^{1/2} = \frac{1}{2} \log_2 a $
Da ciò si ha
$ \displaystyle \log_2 |\sin 4x| + \left | \log_2 | \cos x | \right | = 0 $
Lavoriamo ora nell'intervallo $ [0;\pi /4] $: $ \sin 4x $ e $ \cos x $ sono sempre positivi, mentre il logaritmo in base $ ~2 $ di un numero compreso tra $ ~0 $ e $ \displaystyle \frac{1}{\sqrt 2} $ è sempre negativo, si ha quindi:
$ \displaystyle \sin 4x = \cos x \Rightarrow 4 \sin x (1 - 2 \sin^2 x) -1 = 0 $
$ (4\sin^2 x + 2\sin x -1)(2 \sin x -1) = 0 $
Da cui si ottiene $ x=\pi / 6 $ e $ x = \pi /10 $
Analizzando anche gli altri 3 intervalli si dovrebbero ottenere tutte le soluzioni
Se non ho sbagliato i calcoli però qualche soluzione va fuori il bound, o no?Alex90 ha scritto:Analizzando anche gli altri 3 intervalli si dovrebbero ottenere tutte le soluzioni
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
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Beh chiede solo il numero delle soluzioni... Con poca analisi lo si fa tranquillamente
$ $\sin 4x=\pm \cos x $
$ $4\sin x\cos x(1-2\sin^2x)=\pm \cos x $
Poiché l'argomento del logaritmo dev'essere postivo, si semplifica il coseno, e ci si riconduce a una funzione in $ $k=\sin x $ con $ $k\in [0,1] $
$ $f(k)=4k-8k^3=\pm1 $
È 0 in 0, con la derivata prima cresce fino a $ $1/\sqrt 6 $ dove fa $ $\frac{4\sqrt 6}9>1 $ e poi decresce fino a -4 in 1. Questo vuol dire che interseca 3 volte le rette 1 e -1, e poiché ovviamente mai in x=1, ad ognuna di queste 3 soluzioni corrispondono due angoli fra 0 e pi. In conclusione le soluzioni sono 6.
edit@agi: già è vero. E pensare che quando l'ho fatto la prima volta su carta l'avevo anche notato.
$ $\sin 4x=\pm \cos x $
$ $4\sin x\cos x(1-2\sin^2x)=\pm \cos x $
Poiché l'argomento del logaritmo dev'essere postivo, si semplifica il coseno, e ci si riconduce a una funzione in $ $k=\sin x $ con $ $k\in [0,1] $
$ $f(k)=4k-8k^3=\pm1 $
È 0 in 0, con la derivata prima cresce fino a $ $1/\sqrt 6 $ dove fa $ $\frac{4\sqrt 6}9>1 $ e poi decresce fino a -4 in 1. Questo vuol dire che interseca 3 volte le rette 1 e -1, e poiché ovviamente mai in x=1, ad ognuna di queste 3 soluzioni corrispondono due angoli fra 0 e pi. In conclusione le soluzioni sono 6.
edit@agi: già è vero. E pensare che quando l'ho fatto la prima volta su carta l'avevo anche notato.
Ultima modifica di julio14 il 16 ago 2009, 13:45, modificato 2 volte in totale.
aspè ma $ \frac{\pi}{2} $ non è accettabile, sennò dovresti calcolare il logaritmo di 0.julio14 ha scritto:In conclusione le soluzioni sono (o dovrebbero) essere 7.
Comunque se si volesse proprio risolverle, ci sono le formule di cardano per le equazioni di terzo grado.
edit: l'ho postato perché mi sembrava troppo semplice la mia soluzione per essere un sns.
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