Sistema lineare sconosciuto

[FeddyStra]

American Mathematical Monthly, January 1963
"This system of n linear equations with n unknowns," said the Great Mathematician, "has a curious property."
"Good heavens!" said the Poor Nut, "What is it?"
"Note," said the Great Mathematician, "that the constants are in arithmetic progression."
"It's all so clear when you explain it!" said the Poor Nut. "Do you mean like 6x + 9y = 12 and 15x + 18y = 21?"
"Quite so," said the Great Mathematician, pulling out his bassoon. "Indeed, the system has a unique solution. Can you find it?"
"Good heavens!" cried the Poor Nut, "I am baffled."
Are you?

Un problema davvero simpatico, anche se semplice. Leave it for beginners.

[Maioc92]

forse sono io che ho capito male il problema però non appena le variabili diventano 3 o più la soluzione non è più unica mi pare....invece funziona con n equazioni e 2 variabili. Può essere o forse ho dato un'interpretazione sbagliata?

[FeddyStra]

È corretto. Se indichi con $ \rho_i $ la i-esima riga del sistema, hai che con $ n\ge3 $ vale $ \rho_1+\rho_3-2\rho_2=0 $ (in generale $ \rho_{i-1}+\rho_{i+1}-2\rho_i=0 $), quindi le equazioni non sono linearmente indipendenti. Nel caso $ n=2 $, trovi come soluzioni $ x=-1,y=2 $.

[Maioc92]

ma ad esempio per il caso n=3 non abbiamo un sistema di questo tipo?
Detti k il termine iniziale della progressione e h la differenza costante di 2 termini consecutivi troviamo un sistema di questo tipo:
$ kx+(k+h)y+(k+2h)z=k+3h $
$ (k+4h)x+(k+5h)y+(k+6h)z=k+7h $
$ (k+8h)x+(k+9h)y+(k+10h)z=k+11h $
Ora è facile vedere che se x,y,z soddisfano
$ x+y+z=1 $ e $ y+2z=3 $ allora soddisfano anche il sistema, però in questo modo abbiamo infinite soluzioni.
Ripeto,probabilmente sbaglio nell'interpretazione del testo, però anche l'esempio mi ha fatto pensare a una cosa di questo tipo...

Magari potresti fare un esempio più chiaro di quello del testo?

[dario2994]

Maioc... guarda che hai fatto tutto giusto ;)
Un'ipotesi del problema è anche che ci sia un'unica soluzione... e hai dimostrato che c'è solo nel caso n=2 ;)

[FeddyStra]

Se indichi con $ \rho_i $ la i-esima riga del sistema, hai che con $ n\ge3 $ vale $ \rho_1+\rho_3-2\rho_2=0 $ (in generale $ \rho_{i-1}+\rho_{i+1}-2\rho_i=0 $), quindi le equazioni non sono linearmente indipendenti.

È esattamente ciò che ho detto: se $ n\ge3 $ il sistema non ha soluzione unica, ergo nel problema si deve avere $ n=2 $, deinde $ x=-1,y=2 $.

[Maioc92]

ah ok scusate!!!!! Mi sono confuso non poco (devo smetterla di mettermi al computer appena alzato)
In ogni caso pensavo che ci fosse un errore nel testo per questo ho postato (pensavo che il fatto della soluzione unica fosse la tesi e non un'ipotesi, maledetto inglese)...mi dispiace se ho tolto a qualcuno il gusto di risolverlo da solo. Se volete cancello tutto e lo lascio a chi è agli inizi come richiesto da feddystra

[FeddyStra]

Ma non ti preoccupare! Va bene così: l'hai risolto.