Siano $ x,y,z $ tre numeri reali compresi tra $ 0 $ e $ 1 $.
Dimostrare che $ 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-2xyz(x+y+z) \le 3 $
Ennesima disuguaglianza in 3 variabili
Ennesima disuguaglianza in 3 variabili
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
$ LHS=(xy-yz-zx)^2+(yz-xy-xz)^2+(zx-xy-yz)^2 $ da cui però non so cosa si riesce a ricavare. In alternativa si può dire che un segmento parabolico "rivolto verso l'alto" ha massimo in uno dei suoi 2 estremi (o in entrambi, in un caso, ma è irrilevante)
PS:mi sono reso conto che risolvere disuguaglianze tranquillamente da casa è molto più semplice che in gara, dove ho solo scritto una marea di c*****e in una disuguaglianza anche abbastanza semplice,per poi ovviamente trovare la soluzione 10 minuti dopo la fine sigh
PS:mi sono reso conto che risolvere disuguaglianze tranquillamente da casa è molto più semplice che in gara, dove ho solo scritto una marea di c*****e in una disuguaglianza anche abbastanza semplice,per poi ovviamente trovare la soluzione 10 minuti dopo la fine sigh
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Wlog, supponiamo che $ x\leq y \leq z $ : allora abbiamo anche $ xy\leq xz \leq yz $ .
Applicando la disuguaglianza di riarrangiamento alla terna $ (xy;xz ;yz ) $ otteniamo quindi
$ x^2yz+xy^2z+xyz^2 \geq 2xy^2z+x^2z^2 $
quindi possiamo scrivere
$ LHS\leq 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-4xy^2z-2x^2z^2= y^2 (3x^2-4xz +3z^2)+x^2z^2 $
Il trinomio tra parentesi ha discriminante negativo, quindi è sempre positivo. Inoltre è un paraboloide convesso, quindi avrà il proprio massimo sul contorno. Per $ x=0 $, il trinomio vale $ 3z^2 $, per $ x=1 $ vale $ 3z^2-4z+3 $, che a sua volta è convesso e ha il proprio massimo nell'intervallo $ [0;1] $ in $ z=1 $, dove vale 2.
Dunque la condizione che massimizza il trinomio è $ x=z=1 $, ed è anche quella che massimizza il termine $ x^2z^2 $ . Massimizzando $ y^2 $ con 1, otteniamo infine
$ LHS\leq y^2 (3x^2-4xz +3z^2)+x^2z^2\leq 1\cdot 2+1=3 $
Non sono sicuro che vada bene, quindi correggete pure se ce n'è bisogno...
Applicando la disuguaglianza di riarrangiamento alla terna $ (xy;xz ;yz ) $ otteniamo quindi
$ x^2yz+xy^2z+xyz^2 \geq 2xy^2z+x^2z^2 $
quindi possiamo scrivere
$ LHS\leq 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-4xy^2z-2x^2z^2= y^2 (3x^2-4xz +3z^2)+x^2z^2 $
Il trinomio tra parentesi ha discriminante negativo, quindi è sempre positivo. Inoltre è un paraboloide convesso, quindi avrà il proprio massimo sul contorno. Per $ x=0 $, il trinomio vale $ 3z^2 $, per $ x=1 $ vale $ 3z^2-4z+3 $, che a sua volta è convesso e ha il proprio massimo nell'intervallo $ [0;1] $ in $ z=1 $, dove vale 2.
Dunque la condizione che massimizza il trinomio è $ x=z=1 $, ed è anche quella che massimizza il termine $ x^2z^2 $ . Massimizzando $ y^2 $ con 1, otteniamo infine
$ LHS\leq y^2 (3x^2-4xz +3z^2)+x^2z^2\leq 1\cdot 2+1=3 $
Non sono sicuro che vada bene, quindi correggete pure se ce n'è bisogno...
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]
l'idea va bene,infatti è questa la tecnica standard per disuguaglianze di questo tipo 
La prima parte di riarrangiamento non è strettamente necessaria ma mi pare che tu la usi per semplificarti i calcoli quindi credo vada bene
Comunque sfruttando sempre questa idea puoi concludere facilmente dicendo che comunque siano fissate 2 delle 3 varibili la parabola ha massimo quando la terza è 1 o 0, e poi provi tutte le terne composte solo di 0 e 1.
Invece per quel che riguarda lo scrivere il LHS come somma di quadrati mi convinco sempre più che per quel che riguarda il massimo è inutile. Però volendo da li si può dire tranquillamente che il minimo è 0, giusto per trovargli una qualche utilità
La prima parte di riarrangiamento non è strettamente necessaria ma mi pare che tu la usi per semplificarti i calcoli quindi credo vada bene
Questi passaggi mi lasciano un po' perplesso....intanto perchè hai escluso a priori il caso x=0?Davide90 ha scritto:Per $ x=0 $, il trinomio vale $ 3z^2 $, per $ x=1 $ vale $ 3z^2-4z+3 $, che a sua volta è convesso e ha il proprio massimo nell'intervallo $ [0;1] $ in $ z=1 $, dove vale 2.
Dunque la condizione che massimizza il trinomio è $ x=z=1 $, ed è anche quella che massimizza il termine $ x^2z^2 $
Comunque sfruttando sempre questa idea puoi concludere facilmente dicendo che comunque siano fissate 2 delle 3 varibili la parabola ha massimo quando la terza è 1 o 0, e poi provi tutte le terne composte solo di 0 e 1.
Invece per quel che riguarda lo scrivere il LHS come somma di quadrati mi convinco sempre più che per quel che riguarda il massimo è inutile. Però volendo da li si può dire tranquillamente che il minimo è 0, giusto per trovargli una qualche utilità
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!