Sia $ $a$ $ un parametro reale, e sia $ $f:\mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ $ una funzione tale che $ $f(x^2+axy+y^2)=x^2+axy+y^2$ $ per ogni $ $x$ $ e $ $y$ $ reali.
Determinare, in funzione di $ $a$ $, i possibili valori di $ $f(1)$ $ e $ f(-1) $.
Senior 2002 A3-3
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Appassionatamente BTA 197!
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antosecret
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Scelto $ $a $, è evidente che se è possibile scegliere $ $x,y $ tali che $ $x^2+axy+y^2 = 1 $ allora $ $f(1)=1 $ e similmente $ $f(-1)=-1 $.
Ci chiediamo quindi per quali a è possibile trovare una coppia siffatta.
Occupiamoci prima del caso $ $x^2+axy+y^2=1 $. Affinchè questa equazione abbia soluzioni il suo determinante (calcolato, ad esempio, rispetto a x) deve essere maggiore o uguale a zero. Quindi deve essere:
$ $\Delta_x = y^2(a^2-4)+4\geq0 $
Qui si vede banalmente che basta porre $ $y\leq1 $ affinchè la disuguaglianza sia verificata $ $\forall a $.
Per quanto riguarda l'altro caso, si ha che $ $\Delta_x = y^2(a^2-4)-4\geq0 $.
Affinchè la disuguaglianza sia verificata è necessario che $ $a^2-4 \geq 0\rightarrow |a|>2 $. In questo caso infatti basterà porre $ |y| $>$ \sqrt{\frac{4}{a^2-4}} $
Ci chiediamo quindi per quali a è possibile trovare una coppia siffatta.
Occupiamoci prima del caso $ $x^2+axy+y^2=1 $. Affinchè questa equazione abbia soluzioni il suo determinante (calcolato, ad esempio, rispetto a x) deve essere maggiore o uguale a zero. Quindi deve essere:
$ $\Delta_x = y^2(a^2-4)+4\geq0 $
Qui si vede banalmente che basta porre $ $y\leq1 $ affinchè la disuguaglianza sia verificata $ $\forall a $.
Per quanto riguarda l'altro caso, si ha che $ $\Delta_x = y^2(a^2-4)-4\geq0 $.
Affinchè la disuguaglianza sia verificata è necessario che $ $a^2-4 \geq 0\rightarrow |a|>2 $. In questo caso infatti basterà porre $ |y| $>$ \sqrt{\frac{4}{a^2-4}} $
Dirty Physician!!!! (senza offesa per i farmacisti, ovviamente) :-)