Sottogruppi ciccioni di S_n

[fph]

Guardate un po' cosa si finisce ad usare studiando l'analisi numerica...

Sia $ n>6 $ perché se no è troppo facile. Sia $ G $ un sottogruppo di $ S_n $ con almeno $ (n-1)!\, $ elementi. Dimostrare che $ G $ è uno dei seguenti tizi:

• $ S_n $ (banaaaale)
• $ A_n $ (il gruppo alterno)
• $ F_k:=\{\sigma \in S_n : \sigma(k)=k\} $ per un qualche $ k=1,2,\dots,n $

Hint: considerare come $ S_n $ agisce (per moltiplicazione a sinistra) sull'insieme delle classi laterali di $ G $ in $ S_n $

[alvinlee88]

Se $ H $ ha $ n! $ elementi la tesi è banale, se ne ha $ n!/2 $ l'unico gruppo possibile è $ A_{n} $, poichè per $ n>6 $ è semplice e se esistesse un altro sottogruppo di $ S_{n} $ di indice 2 diverso da $ A_n $, la loro intersezione avrebbe indice $ 4 $ (per un fatto di cardinalità), e dunque sarebbe un sottogruppo normale proprio di $ A_{n} $, assurdo.

Caso $ |H|=(n-1)! $. Come da hint, considero l'azione $ \phi: S_{n} \rightarrow S_{n} $ definita da $ \phi_x(x_iH)=xx_iH $, dove $ H $ è il mio sottogruppo e dove ho enumerato le classi laterali nel seguente modo $ \{x_1H=H,x_2H,...,x_nH\} $.
Il nucleo di $ \phi $ è banale, quindi $ \phi $ è un'automorfismo di $ S_{n} $, e sappiamo che per $ n>6 $ gli automorfismi di $ S_{n} $ sono tutti e soli quelli interni. Adesso, identificando i laterali con l'insieme $ \{1,2,..,n\} $, si vede facilmente che $ \phi(H)=\{x \inS_{n} | x(1)=1\} $ (infatti $ \phi(x)(H)=xH=H $ se e solo se $ x \in H $), e esiste $ \sigma \in S_{n} $ tale che $ H=\sigma H \sigma^{-1} $, dunque $ H $ è lo stabilizzatore della cifra $ \sigma(1) $

[fph]

Bene! Ora però ti manca da escludere la possibilità che ci siano altri gruppi di cardinalità
$ (n-1)!<k<n!/2 $.

[alvinlee88]

Giusto, rimedio subito.
Sia $ K $ un sottogruppo proprio di $ S_{n} $ di indice $ k $ stettamente minore di $ n $. Dico che allora tale sottogruppo e` $ A_{n} $. Infatti, usando la stessa azione di cui sopra, essendo il gruppo di arrivo $ S_{k} $, tale azione non puo` essere iniettiva, quindi il suo nucleo, che e` il piu grande sottogruppo normale di $ S_{n} $ contenuto in $ K $, e` diverso da $ {Id} $ (e da $ S_{n} $ perche` $ K $ e` proprio) Ma per $ n>4 $ l`unico sottogruppo normale di $ S_{n} $ diverso da $ {Id} $ e da $ S_{n} $ e` $ A_{n} $ (questo segue dalla semplicita` di $ A_{n} $ se $ n>4 $), quindi $ K $, contenendo il nucleo ed essendo proprio, puo essere solo $ A_{n} $.

[fph]

[alvinlee88]