n|2^{2n-1}+1

[jordan]

Quanti sono gli interi positivi n tali che n divide $ 2^{2n-1}+1 $?

[andrea91]

supponiamo (*) che $ n $ non sia nè 1(che risolve) nè 2 (che non risolve)
la tesi è equivalente a $ 2^{2n-1}\equiv-1 (n) $ per cui $ 2^{2(2n-1)}\equiv1 (n) $ ma allora si ha che, detto $ d $ l'ordine di 2 in $ (Z/nZ)* $ allora si ha che $ d|2(2n-1) $ ma allora poichè $ (2n-1,2)=1 $ e poichè $ d non|2n-1 $ altrimenti si avrebbe $ 2^{2n-1}\equiv1 (n) $, (assurdo supponendo *), i casi sono o che $ d=4n-2>n $ (caso impossibile in quanto l'ordine di 2 divide l'ordine di $ (Z/nZ)* $ che è più piccolo di )$ n $) allora $ d=2 $ ma allora $ 2^2=4\equiv1 (n) $ ma allora $ n|3 $ e quindi $ n=3 $ (per *) che va bene

[jordan]

L'ordine può benissimo essere della forma d=2x, dove x è un qualunque divisore proprio di 2n-1, non credi?

[andrea91]

hai ragione: diciamo che mancherebbe solo quel caso per completare l'esercizio, vero? anche se mi rendo conto che forse è il caso più difficile

[jordan]

..diciamo che mancherebbe solo quel caso per completare l'esercizio..

in realtà non è un caso, è il problema..