Strano quadrato

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione che ho visto io usa la trigonometria (non troppa roba grossa però)

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Libero di non crederci, ma la soluzione mi ha impegnato non più di tre quarti d\'ora <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 Dunque, poichè i lati opp sono paralleli, gli angoli opposti sono uguali. Chiamiamo gli angoli A=D, B=E, C=F e vediamo che i raggi dei cerchi circoscritti si possono scrivere come:
 r_ABF=4*AB*BF*FA/S dove S è l\'area di FAB e sappiamo che S=1/2AB*AF*sinA => r_ABF=BF/(2sinA) e similmente r_BDC=BD/(2sinC)
 r_DFE=DF/(2sinB).
 Inoltre vediamo che,ad es, BF è sicuramente maggiore della distanza tra BC e EF, che può essere scritta in due modi: BAsinB+AFsinC=CDsinC+EDsinB
 perciò 2BF/sinA>=BAsinB/sinA+AFsinC/sinA+CDsinC/sinA+EDsinB/sinA
 e BF/(2sinA)>=1/4*(BAsinB/sinA+AFsinC/sinA+CDsinC/sinA+EDsinB/sinA)
 similmente
 BD/(2sinC)>=1/4*(CDsinA/sinC+BCsinB/sinC+EFsinB/sinC+AFsinA/sinC)
 DF/(2sinB)>=1/4*(EFsinC/sinB+DEsinA/sinB+ABsinA/sinB+BCsinC/sinB)
 
 Quindi r_1+r_2+r_3>=1/4*[AB*(sinB/sinA+sinA/sinB) + BC*
 *(sinB/sinC+sinC/sinB) + CD*(sinC/sinA + sinA/sinC) + DE*(sinB/sinA + sinA/sinB) + EF*(sinC/sinB + sinB/sinC) + FA*(sinC/sinA + sinA/sinC)]
 
 Inoltre a/b + b/a >=2 se ab>0 e il seno di un angolo <180° è sempre positivo.
 
 Quindi il secondo termine è maggiore di 1/4*(2AB+2BC+2CD+2DE+2EF+2FA)=1/2*(AB+BC+CD+DE+EF+FA)=p/2. Come volevasi dimostrare.
 
 Adesso, piuttosto, nessuno ha qualche idea su quel quadrato??!!??
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 06-03-2003 19:37 ]

XT · Messaggio da XT » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno qua dentro non era dell\'opinione che la trigonometria non fosse molto elegante?
 Persino alle IMO...

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Attenzione alla magia.
 
 Proviamo a fare la divisione (x^2+y^2)/(xy+1) usando la regolaq di divisione dei polinomi. Supponendo che x>y, non si perde generalita\' (carina \'sta frase). Si ha Q(x)=x/y con resto R(x)=y^2-x/y. Ma per ipotesi R(x)=0, quindi x=y^3. Pertanto Q(x)=x/y=y^2. QE<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)))

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

E x=240 y=27 N=9 come te lo spieghi?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
 Fin lì c\'ero, ma ci deve essere una dimostrazione più generale che includa ogni caso. Anche perchè la tua soluzione è praticamente la stessa di Ale.
 Devo ancora capire dove ha perso di generalità, ma sicuramente c\'è qualche ipotesi implicita che hai assunto senza accorgertene. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 07-03-2003 12:46 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, ho trovato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 Chi ti ha detto che il resto è 0??? N(x,y)=X^2 + y^2 D(x,y)=1+xy
 N(x,y)/D(x,y)=Q(x,y) + R(x,y)/D(x,y) e fin qui va bene, ma non è detto che il rapporto R(x,y)/D(x,y) non sia intero proprio per quei valori di x e y che rendono N(x,y)/D(x,y) un quadrato! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Evariste, premetto che non ho letto in modo approfondito il tuo post sull\'IMO \'96. A grandi linee però mi pare tutto giusto. Quindi, anzitutto, bravo. Avevi ragione, la mole di calcoli pare tollerabile. Fatto sta che questo è il problema che ha ricevuto meno soluzioni all\'IMO.
 
 Poi, per il problema dell\'88 un suggerimento engeliano: dimostrare per induzione su x*y che se N è intero, allora N=MCD(x,y)²

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Per il problema dell\'esagono non basta usare il teorema di Tolomeo con qualche aggiunta?

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Per l\'altro problema ho pensato di fare così:
 Notiamo innanzi tutto che x è diverso da y, tranne x=y=1 infatti in tutti gli altri casi N non sarà mai un intero. Supponiamo allora che x > y. L\'equazione diventa x^2 - (Ny)x + (y^2 - N) = 0. Questa la possiamo vedere come un\'equazione di II grado in x, che quindi avrà due soluzioni, diciamo h e k. Si ha che h+k=Ny e che h*k=y^2 - N (basta ricordare la formula per la somma e il prodotto delle soluzioni di un equazione di II grado). Da qui abbiamo che se (h,y) è una soluzione del problema (cioè N è intero) allora anche (k,y) è soluzione, con k=Ny - h. Quindi se h>y allora y>k, dall\'espressione sul prodotto delle due soluzioni. Ripetendo il processo abbiamo una sequenza strettamente decrescente di interi che ci da le possibili soluzioni: s1=h, s2=y... sp=N s[p-1] - s[p-2]. (s0, s1 e sp sono rispettivamente il primo, il secondo e il p-esimo termine della successione). Dall\'equazione iniziale noi abbiamo che s[p]^2 + s[p+1]^2/1 + s[p]s[p+1]=N. Ma s[p+1] deve essere per forza uguale a 0 per un qualche p, poiché altrimenti si avrebbe un assurdo (precisamente supponendo che la successione non incontri mai 0 si ha che, essendo essa strettamente decrescente, deve contenere due interi negativi, ma questo non può essere infatti N deve essere positivo, ma questo non accade per nessun (x,y) negativi), quindi essendo s[p+1]=0 N=(s[p])^2
 Devo ammettere che non è tutta farina del mio sacco... però ho trovato una bella generalizzazione: la stessa proposizione è vera per tutti i polinomi del tipo (x^2 + Kxy + y^2)/(1 + xy)=N con N>K e k < > 2.
 Mi sono accorto che in qualche frazione devo essermi dimenticato le parentesi, scusate. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 09-03-2003 18:03 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Per l\'esagono non sono poi così sicuro che Tolomeo basti, per il quadrato mi sembra sia tutto giusto, anche se non farebbe male chiarire di più qualche passaggio!!
 
 PS se non è tutta farina del tuo sacco, da che sacco viene? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

1) suggerimento di Luca
 2)Un libro trovato in biblioteca a scuola (in francese, che fatica capirci qualcosa) che parlava del problema.
 No in effetti Tolomeo non è sufficiente... tempo proprio che non si possa fare a meno della trigonometria!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Visto che nel frattempo la dimostrazione l\'avevo fatta anch\'io e più o meno mi veniva ugale, ciò mi consola. Ora, tanto per dar qualcosa da fare a qualcuno che non ne abbia già abbastanza, provate a studiare il caso in cui N sia un intero negativo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Non la scrivo perché casualemente cercando quella di prima ho trovato anche questa... ma il risultato è decisamente diverso!

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Quali sono secondo te i passaggi da chiarire? Ho notato che forse non è molto chiara la storia del s[p+1]=0... se hai voglia chiariscila tu!