Per evitare di far toccare il fondo a questo forum, posto un problema, dal momento che sembra sia diventata un'attività secondaria qua dentro...
Detto questo:
Trovare tutti i numeri interi $ $x$ $ tali che il prodotto delle cifre della rappresentazione decimale di $ $x$ $ è uguale a $ $x^2-10x-22$ $
Fonte: IMO 1968 - problema 2
Prodotto delle cifre di x = x^2-10x-22
Prodotto delle cifre di x = x^2-10x-22
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
in modo grossolano(diciamo pure molto grossolano) sono riuscito a escludere tutti gli $ x\ge 100 $ e poi tutti gli $ x\ge 20 $ e a questo punto il problema diventa banale. Dopo pranzo posto tutto il procedimento anche se probabilmente ho sbagliato perchè per essere un IMO 2 mi sembra troppo semplice anche se è vecchio....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
ok ecco:
innanzitutto escludiamo che una delle cifre sia 0:in questo caso il prodotto è 0 e l'equazione non ha soluzioni intere.
Siano $ a_n,a_{n-1}...a_1,a_0 $ le cifre di x. Allora $ \displaystyle x=\sum_{i=0}^n 10^ia_i $. Riscriviamo quindi l'equazione come $ \displaystyle(\sum_{i=0}^n 10^ia_i)^2=10\sum_{i=0}^n 10^ia_i+22+a_na_{n-1}...a_1a_0 $.
Supponiamo ora $ n\ge 2 $:allora sviluppando x al quadrato si trova che
$ \displaystyle(\sum_{i=0}^n 10^ia_i)^2\ge\sum_{i=0}^n 10^{2i}a_i^2+2*10^{2n-1}a_na_{n-1}+2*10^na_na_0 $.Ricordando che nessuno degli a_i è nullo e che $ n\ge 2 $abbiamo che
1)$ \displaystyle\sum_{i=1}^n 10^{2i}a_i^2>10\sum_{i=1}^n 10^ia_i $
2)$ 2*10^{2n-1}a_na_{n-1}>10^{n+1}>9^{n+1}\ge a_na_{n-1}...a_1a_0 $
3)$ 2*10^na_na_0\ge200>10a_0+22 $
da cui l'assurdo.
Pertanto $ x<100 $
A questo punto senza troppe difficoltà si escludono i casi in cui x ha una sola cifra,quindi x=10a+b. Impostando l'equazione si escludono con qualche considerazione i casi in cui $ a\ge 2 $,quindi x=10+b.
Sostituendo si trova l'unica soluzione x=12.
Spero possa andare bene
innanzitutto escludiamo che una delle cifre sia 0:in questo caso il prodotto è 0 e l'equazione non ha soluzioni intere.
Siano $ a_n,a_{n-1}...a_1,a_0 $ le cifre di x. Allora $ \displaystyle x=\sum_{i=0}^n 10^ia_i $. Riscriviamo quindi l'equazione come $ \displaystyle(\sum_{i=0}^n 10^ia_i)^2=10\sum_{i=0}^n 10^ia_i+22+a_na_{n-1}...a_1a_0 $.
Supponiamo ora $ n\ge 2 $:allora sviluppando x al quadrato si trova che
$ \displaystyle(\sum_{i=0}^n 10^ia_i)^2\ge\sum_{i=0}^n 10^{2i}a_i^2+2*10^{2n-1}a_na_{n-1}+2*10^na_na_0 $.Ricordando che nessuno degli a_i è nullo e che $ n\ge 2 $abbiamo che
1)$ \displaystyle\sum_{i=1}^n 10^{2i}a_i^2>10\sum_{i=1}^n 10^ia_i $
2)$ 2*10^{2n-1}a_na_{n-1}>10^{n+1}>9^{n+1}\ge a_na_{n-1}...a_1a_0 $
3)$ 2*10^na_na_0\ge200>10a_0+22 $
da cui l'assurdo.
Pertanto $ x<100 $
A questo punto senza troppe difficoltà si escludono i casi in cui x ha una sola cifra,quindi x=10a+b. Impostando l'equazione si escludono con qualche considerazione i casi in cui $ a\ge 2 $,quindi x=10+b.
Sostituendo si trova l'unica soluzione x=12.
Spero possa andare bene
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Ja.. si può trovare scritto bene anche qui 
The only goal of science is the honor of the human spirit.