..In P^3

[DarkSepiroth]

Salve a tutti, vi propongo un problemino su cui mi sto arrovellando senza trovare la conclusione...nonostante sia riuscito a imbastire una qualche dimostrazione.

Abbiamo una superficie $ S $ di $ \mathbb{P}^3 $, ed una retta fissata $ l $ tangente ad essa. La superficie è non-singolare,irriducibile, liscia. Vogliamo dimostrare che esiste un piano passante per $ l $ e non tangente alla superficie.

Sembra facile, ma anche la dimostrazione lo è ?? a me non sembra!
Grazie a chi darà un'occhiata a questo problema....

[hydro]

Non so se può funzionare bene, ma se tutti i piani passanti per $ l $ fossero tangenti, allora lo spazio tangente alla superficie nel punto conterrebbe almeno 2 piani che hanno per intersezione solo $ l $. Essendo lo spazio tangente uno spazio vettoriale, dovrebbe contenere anche lo spazio generato dai due piani considerati, che però generano tutto $ \mathbb{P}^3 $. Ma allora la superficie sarebbe singolare nel punto.

[Nonno Bassotto]

A m sembra falso Considera il caso in cui la retta sia contenuta nella superificie.

Sia P l'insieme dei piani contenente l, e' isomorfo a $ \mathbb{P}^1 $. Se $ \ell \subset S $, abbiamo un'applicazione regolare da l a P che manda il punto p nel piano tangente $ T_p S $.

Una mappa regolare dalla retta proiettiva in se' e' costante oppure suriettiva. e non e' difficile trovare esempi in cui non sia costante. Se e' suriettiva, ogni piano che contiene l e' tangente a S da qualche parte.

[DarkSepiroth]

No, ok, escludiamo il caso in cui la retta $ l $ sia interamente contenuta nella superficie $ \mathcal{S} $ altrimenti torna la tua dimostrazione. Mi sono posto il problema nel caso in cui effettivamente la superficie interseca S in un numero finito $ r $ di punti... Ho dimenticato di metterlo nelle ipotesi, sorry.

[Nonno Bassotto]

Beh, allora i piani tangenti a S che contengono l sono al massimo r, e tutti gli altri vanno bene... forse non ho capito qualcosa

[DarkSepiroth]

Beh, potresti avere piani passanti per l e tangenti in punti di S distinti dai punti di $ S \cap l $; il mio problema è sostanzialmente verificare che in questo setting c'è almeno un piano passante per $ l  $ e secante, non tangente S. Ma siccome non tangente implica secante, allora mi ero posto il problema di verificare l'enunciato che ti ho dato prima.

[Nonno Bassotto]

Ok, ok, ho evidentemente detto una cazzata...

Allora puoi fare così. Considera il sistema lineare su S dato dalle curve sezioni iperpiane, con iperpiani che contengono l. Il luogo base di questo sistema è $ l \cap S $, cioè un numero finito di punti. Per il teorema di Bertini il membro generico del sistema lineare è liscio fuori da questi punti. Ma una curva $ C = H \cap S $ è singolare esattamente nei punti in cui H è tangente ad S, dunque l'iperpiano generico non è tangente ad S, tranne al più nei punti di l. Gli iperpiani che sono tangenti lungo l sono in numero finito, e quindi concludiamo che l'iperpiano generico è trasverso ad S.