Dentro un quadrato

[spugna]

Dimostrare che ogni figura piana può essere inscritta in un quadrato

[Tibor Gallai]

C'è qualcosa che non quadra.

Hmm, battutona a parte, forse non concordiamo sulla definizione di figura piana e/o sulla definizione di inscritto. Cosa intendi?

[spugna]

C'è qualcosa che non quadra.

Hmm, battutona a parte, forse non concordiamo sulla definizione di figura piana e/o sulla definizione di inscritto. Cosa intendi?

Con figura "piana" intendo semplicemente una figura a 2 dimensioni,mentre con "inscritta in un quadrato" intendo che la figura deve avere in comune almeno un punto con ciascun lato del quadrato,senza però "uscire" dal suo perimetro

[Tibor Gallai]

Con figura "piana" intendo semplicemente una figura a 2 dimensioni

Grazie.

Cos'è una figura?

[Il_Russo]

Per definizione una figura è un sottoinsieme del piano. In tal caso la tesi è falsa.

Ci si può limitare a considerare figure limitate. Anche in tal caso la tesi è falsa, ma si può aggiustare aggiungendo il confine (forse).

Quindi direi che stiamo parlando di sottoinsiemi limitati e chiusi del piano. Non so se la tesi sia vera in questo caso.

[spugna]

Quindi direi che stiamo parlando di sottoinsiemi limitati e chiusi del piano.

Esatto. Nella fonte da cui l'ho preso non era specificato,ma nella soluzione lo dava per scontato.....

[kn]

Probabilmente sto scrivendo un mucchio di cavolate, comunque dovrebbe essere sufficiente imporre che per ogni punto $ \displaystyle~P $ se per ogni $ \displaystyle~\epsilon>0 $ esiste un punto $ \displaystyle~Q $ apartenente alla figura e tale che $ \displaystyle~PQ<\epsilon $ allora anche $ \displaystyle~P $ appartiene alla figura (*). Inoltre la "figura" deve essere limitata e avere almeno 2 punti.
In tal caso, fissato un riferimento cartesiano a caso, possiamo definire una funzione $ \displaystyle~f:[0;2\pi)\to\mathbb{R}_0^+ $ che ci dà la minima distanza tra due rette che formano l'angolo dato con l'asse $ \displaystyle~x $ (parallele all'asse se l'angolo è $ \displaystyle~0 $) e che delimitano tutta la figura. A questo punto definiamo anche una funzione $ \displaystyle~g:[0;\pi)\to\mathbb{R} $ definita come $ \displaystyle~g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-f(x) $ se $ \displaystyle~x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right) $ e $ \displaystyle~g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-f(x) $ se $ \displaystyle~x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right) $. $ \displaystyle~f(\cdot) $ è continua e quindi anche $ \displaystyle~g(\cdot) $. Per ogni $ \displaystyle~x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right) $ vale $ \displaystyle~g(x)=-g\left(x+\frac{\pi}{2}\right) $, quindi per il teorema degli zeri esiste un $ \displaystyle~t $ tale che $ \displaystyle~g(t)=0 $. Otteniamo che esiste una coppia di rette parallele che formano con l'asse $ \displaystyle~x $ un angolo $ \displaystyle~t $, distano tra loro $ \displaystyle~f(t) $, delimitano la figura e quindi hanno in comune almeno un punto ciascuna con essa (proprietà (*)). A questo punto esiste anche un'altra coppia di rette perpendicolari alle prime che fa lo stesso lavoro e che dista sempre $ \displaystyle~f(t) $ (essendo $ \displaystyle~g(t)=0 $). Queste rette formano il quadrato cercato.
Spero che si riesca a capire qualcosa

[dario2994]

Provo a risolvere...
Piazzo la figura in un piano cartesiano e traccio il rettangolo con i lati paralleli all'asse circoscritto alla figura (questo esista banalmente... basta allontanare le parallele e poi avvicinarle finchè non toccano... non formale ma funge).
Chiamo a la lunghezza del lato parallelo all'asse x, b la lunghezza del lato parallelo all'asse y. WLOG a>b (se uguale ho la tesi).
Noto che ruotando la figura il cambiamento di lunghezza dei lati è una funzione continua (non saprei dimostrarlo ma mi sembra abbastanza intuitivo).
Se ruoto di 90 gradi la figura il rettangolo ruota anch'esso ottenendo a<b... perciò per quanto detto esiste una rotazione per la quale a=b.

Non è molto formale (neanche un po) ma spero sia accettabile xD

EDIT: Leggete il post sopra per la versione formale di questo xD
EDIT2: Correggo dopo il post di Tibor... leggete sopra per la versione in simboli e leggete sotto per capire meglio xD (insomma questo post potete anche tralasciarlo xD)

[Tibor Gallai]

Leggete il post sopra per la versione formale di questo

Penso che sia soltanto la traduzione in simboli della tua soluzione, non mi sembra per niente qualcosa di formale! Le 2 soluzioni hanno quasi lo stesso grado di formalità, ed entrambe sorvolano sull'unica vera difficoltà del problema: la continuità di quella f... Un altro aspetto sempre trascurato della questione, ma un po' più semplice, è che le "rette limite" considerate abbiano davvero punti in comune con la figura.
Non penso che siano argomenti nemmeno lontanamente elementari, però...

[kn]

Un altro aspetto sempre trascurato della questione, ma un po' più semplice, è che le "rette limite" considerate abbiano davvero punti in comune con la figura.

Allora, se due rette parallele delimitano la figura e hanno la distanza minima allora ognuna ha almeno un punto in comune con essa. Se così non fosse, chiamiamo $ \displaystyle~r $ la retta (o una delle due) che non ha punti in comune con la figura. La minimalità della distanza delle due rette implica che la "distanza" di $ \displaystyle~r $ dalla figura è $ \displaystyle~0 $. Quindi la funzione che dà per ogni punto su $ \displaystyle~r $ la "distanza" dalla figura deve assumere il minimo ($ \displaystyle~0 $), dato che questa funzione è continua e che la figura è limitata. Quindi esiste un punto $ \displaystyle~P $ su $ \displaystyle~r $ per cui si possono trovare punti della figura arbitrariamente vicini ad esso e per la proprietà (*) del mio primo post anche $ \displaystyle~P $ appartiene alla figura, assurdo.

sorvolano sull'unica vera difficoltà del problema: la continuità di quella f

È abbastanza ovvio che $ \displaystyle~f(\cdot) $ non cambia se al posto della figura consideriamo il suo inviluppo convesso. A questo punto facendo variare l'angolo di poco le rette che realizzano la minima distanza devono ruotare attorno a uno o più punti (anche infiniti, come in una circonferenza) molto vicini. Quindi la distanza tra le due rette varia di poco, sempre meno al diminuire della variazione dell'angolo.. Se avrò tempo cercherò una dimostrazione più rigorosa..

[Tibor Gallai]

Non prendete il mio commento precedente come un'istigazione all'OT!
Tanto più che mi pare che ci stiamo affossando peggio di prima...
Se si accetta che il problema sia olimpico, la dimostrazione di kn e di dario2994 va bene. Se si manifestano velleità di formalità di una di codeste dimostrazioni, le cose vanno meno bene.
Se invece non si accetta che il problema sia olimpico, lo si sposta in MNE. Almeno, a mio modo di vedere... Poi non sono moderatore, e non tocca a me dirlo.

[Il_Russo]

Un altro aspetto sempre trascurato della questione, ma un po' più semplice, è che le "rette limite" considerate abbiano davvero punti in comune con la figura.

Quindi direi che stiamo parlando di sottoinsiemi limitati e chiusi del piano.

Ovviamente anch'io condivido dubbi sull'olimpicità del problema e delle eventuali soluzioni.

[Tibor Gallai]

Eh ma io non riesco a dimostrare quel fatto senza invocare Bolzano-Weierstrass, per questo ero così insistente nel bollare la questione come non olimpica. Se voi avete idee più brillanti, fatevi avanti.