Quanti interi positivi n hanno la proprietà che la loro rappresentazione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di 2n?
ho cercato di capire la soluzione proposta..ma non l'ho capita..qualcuno potrebbe spiegarmi come si arriva alla soluzione?
feb 2009
Dunque, l'ho fatto qualche mese fa ma sinceramente non mi ricordo la soluzione ufficiale. Si potrebbe però fare così: è
$ n = a_k \cdot 2^k + a_{k-1}\cdot2^{k-1} + ... + a_1 \cdot 2 + a_0 $, con $ a_i \in \{0, 1\} $ dunque si imposta direttamente l'uguaglianza
$ 2n = a_k \cdot 2^{k+1} + a_{k-1}\cdot2^k + ... + a_1 \cdot 2^2 + a_0 \cdot 2 = a_k \cdot 3^k + a_{k-1}\cdot3^{k-1} + ... + a_1 \cdot 3 + a_0 $. Sicuramente, essendo $ a_i \in \{0, 1\} $, il LHS è minore di $ 2^{k+2} $ e il RHS è maggiore di $ 3^k $, quindi deve essere, per catena di disuguaglianze,
$ 3^k \le 2^{k+2} $, che vale per $ k \le 3 $, ossia $ n $ deve avere massimo 4 cifre (in entrambe le basi 2 e 3). Vai per verifica diretta, e dovrebbe essere facile dato che deve essere $ n \le 15 $.
Non è la soluzione ufficiale ma il problema penso che venga lo stesso.
$ n = a_k \cdot 2^k + a_{k-1}\cdot2^{k-1} + ... + a_1 \cdot 2 + a_0 $, con $ a_i \in \{0, 1\} $ dunque si imposta direttamente l'uguaglianza
$ 2n = a_k \cdot 2^{k+1} + a_{k-1}\cdot2^k + ... + a_1 \cdot 2^2 + a_0 \cdot 2 = a_k \cdot 3^k + a_{k-1}\cdot3^{k-1} + ... + a_1 \cdot 3 + a_0 $. Sicuramente, essendo $ a_i \in \{0, 1\} $, il LHS è minore di $ 2^{k+2} $ e il RHS è maggiore di $ 3^k $, quindi deve essere, per catena di disuguaglianze,
$ 3^k \le 2^{k+2} $, che vale per $ k \le 3 $, ossia $ n $ deve avere massimo 4 cifre (in entrambe le basi 2 e 3). Vai per verifica diretta, e dovrebbe essere facile dato che deve essere $ n \le 15 $.
Non è la soluzione ufficiale ma il problema penso che venga lo stesso.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
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cellulacameratatumorale
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perchè il RHS > 3^k?perchè $ 3^k \le 2^{k+2} $, e perchè n deve avere al massimo 4cifre?[/tex]Gauss91 ha scritto: il RHS è maggiore di $ 3^k $, quindi deve essere, per catena di disuguaglianze,
$ 3^k \le 2^{k+2} $, che vale per $ k \le 3 $, ossia $ n $ deve avere massimo 4 cifre (in entrambe le basi 2 e 3). Vai per verifica diretta, e dovrebbe essere facile dato che deve essere $ n \le 15 $.
Non è la soluzione ufficiale ma il problema penso che venga lo stesso.
ma tu ogni tanto ci provi a ragionare da solo sulle cose?! Capisco che ogni tanto ci possa essere qualcosa che uno non capisce, ma tu chiedi tutto di tuttodanielf ha scritto:perchè il RHS > 3^k?perchè $ 3^k \le 2^{k+2} $, e perchè n deve avere al massimo 4cifre?[/tex]Gauss91 ha scritto: il RHS è maggiore di $ 3^k $, quindi deve essere, per catena di disuguaglianze,
$ 3^k \le 2^{k+2} $, che vale per $ k \le 3 $, ossia $ n $ deve avere massimo 4 cifre (in entrambe le basi 2 e 3). Vai per verifica diretta, e dovrebbe essere facile dato che deve essere $ n \le 15 $.
Non è la soluzione ufficiale ma il problema penso che venga lo stesso.
Tra l'altro non mi pare che abbia scritto cose cosi incomprensibili.....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!