r_a + r_b + r_c = 4R + r

[kn]

Sia dato un triangolo ABC. Detti $ ~r_a,r_b,r_c $ i raggi delle circonferenze ex-scritte relative ad A, B, C rispettivamente, R il raggio della circonferenza circoscritta e r il raggio di quella inscritta, mostrare che
$ ~\boxed{r_a + r_b + r_c = 4R + r} $

[karl]

Faccio uso del disegno ,di notazioni usuali,di risultati noti e della seguente identità
(valida per gli angoli di un triangolo e facilmente dimostrabile):
(1) $ \displaystyle \cos\alpha +\cos \beta+\cos\gamma =1+4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $
Dal triangolo rettangolo O'LO si trae:
$ \displaystyle OL=O'L\cdot \tan{\frac{\alpha}{2}} $
Ovvero:
$ \displaystyle r_a-r=a\cdot \tan{\frac{\alpha}{2}} $
Sommando formule simili si ha:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=a\cdot \tan{\frac{\alpha}{2}}+b\cdot \tan{\frac{\beta}{2}}+c\cdot \tan{\frac{\gamma}{2}} $
Ma :
$ \displaystyle a\cdot\tan{\frac{\alpha}{2}}=2R\sin{\alpha}\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $ e simili.
Sostituendo risulta:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=6R-2R(\cos\alpha +\cos \beta+\cos\gamma) $
Per la (1) si ha allora:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=6R-2R(1+4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}) $
Ovvero:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=4R-8R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} $
Per la formula $ \displaystyle R=\frac{abc}{4S} $ e per le note formule di Briggs si ricava che:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=4R-\frac{2abc}{S}\cdot \sqrt{\frac{(p-a)^2(p-b)^2(p-c)^2}{(abc)^2}} $
E con qualche aggiustamento:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=4R-\frac{2abc}{S}\cdot {\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p(abc)}=4R-2\cdot \frac{abc}{S}\cdot \frac{S^2}{p(abc)}} $
Semplificando:
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=4R-2\cdot \frac{S}{p}}=4R-2r $
E alla fine :
$ \displaystyle r_a+r_b+r_c=4R+r $

[kn]

Perfetto!

$ \displaystyle r_a+r_b+r_c-3r=6R-2R(\cos\alpha +\cos \beta+\cos\gamma) $

Qui si poteva concludere direttamente anche usando l'identità $ ~\cos\alpha +\cos \beta+\cos\gamma=1+\frac{r}{R} $, comunque non conoscevo la (1) quindi hai fatto bene a scriverla