Scrivere una dimostrazione

[pippo93]

Salve a tutti! Ho dei dubbi su quali regole adottare per scrivere la soluzione (ammesso che la trovi... ) di un dimostrativo a febbraio.

Il dubbio principale consiste in che cosa tralasciare e in che cosa è necessario in una dimostrazione. Questo problema nasce dal fatto che nonostante nella prima pagina del compito ci sia scritto " Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e coinciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto".

Intanto, cosa vuol dire esattamente quel "ti invitiamo", vuol dire che se lo faccio gli faccio un piacere o che quello che c'è fuori non viene considerato?

è meglio essere ridondanti piuttosto che succinti: nell'incertezza conviene dunque dimostrare quanto si sta usando (una buona norma è la seguente: i risultati contenuti nelle schede si possono dare per buoni, gli altri no)

Il fatto è che se si citano teoremi tutto fila liscio perchè il correttore sa a che cosa ci si riferisce, ma se si cita una qualche nozione, per esempio di geometria elementare, come può essere che in un triangolo rettangolo la mediana dell'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa o che il segmento congiungente due punti medi di due lati di un triangolo è la metà del terzo lato, bisogna dare una giustificazione o va bene così?

In effetti sarebbe strano che fosse necessario dare una giustificazione di queste cose se si può citare tranquillamente ad esempio Cauchy Schwarz (che è molto meno "ovvia")

Per parlare di qualcosa di concreto ho provato a dare una soluzione del n°16 del febbraio 2002 (Triennio):

Sia dato un triangolo ABC. Si indichino con M e N i punti medi rispettivamente dei lati AC e BC. Siano inoltre S e T rispettivamente punti sui lati AC e BC tali che :

$ AS=AC/3 $ e $ BT=BC/3 $

Dimostrare che le bisettrici degli angoli AST e BTS si incontrano su un punto P del lato AB se e solo se il quadrilatero AMNB e circoscrivibile ad una circonferenza

Dimostro prima che se P giace su AB allora AMNB e circoscrivibile.
Sia $ A \widehat ST=2\alpha $ e sia $ S \widehat TB=2\beta $ allora sia $ A \widehat SP=\alpha $ e sia $ s \widehat SP=2\beta $.
sia inoltre $ AC=3a $ e $ BC=3b $ allora $ AS=a $, $ AM=3a/2 $ , $ BT=b $ e $ BN=3b/2 $, per cui risulta che $ AS/BT=AM/BN=AC/BC $ e quindi, per il teorema di Talete $ AB $, $ ST $ e $ MN $ sono paralleli tra loro, ne segue che $ P \widehat AS+A\widehat ST=180° $ in quanto coniugati interni rispetto alle parallele $ AB $ e $ ST $ tagliate da $ AS $, quindi $ P \widehat AS =180°- \alpha $ e poichè $ P \widehat AS + A \widehat ST + S \widehatPA=180° $ allora $ S \widehat PA=\alpha $. Analogamente $ T \widehat PS=\beta $. I triangoli $ APS $ e $ PTB $ sono isosceli per cui $ PB=TB=b $ e $ AP=AS=a $. Ora, poichè un quadrilatero è circoscrivibile se e solo se la somma dei lati opposti è uguale e poichè $ AM+BN=3a/2+3b/2 $ e $ AB+MN=3a/2+3b/2 $ (poichè il segmento congiungente di due punti medi di due lati di un triangolo è uguale alla metà del terso lato) si sa che $ AMNB $ è circoscrivibile.

Viceversa se $ AMNB $ è circoscrivibile si ha che $ AM+BN=3a/2+3b/2=MN+AB=3AB/2 $ e quindi $ AB=a+b $
Se si congiungono $ S $ e $ T $ con un punto $ P $ su $ AB $ tale che $ AP=a $ e $ PB=b $ e sia $ A \widehat PS = \alpha=A \widehat SP $ Poichè il triangolo $ ASP $ è isoscele e $ T \widehat PB=\beta=P \widehat TB $ (perchè $ TPB $ è isoscele). Allora $ P \widehat AS =180° -\alpha $ e poichè $ AP $ è parallelo a $ TS $ allora $ P \widehat AS + A \widehat ST=180°=180-2\alpha+A \widehat ST $ e quindi $ A \widehat ST=2\alpha $, ma $ A \widehat ST=A \widehat SP+ P \widehat ST= \alpha+ P \widehat ST= 2\alpha $, quindi $ P \iwdehat ST=\alpha $ e $ PS $ biseca $ A \widehat ST $. Analogamente $ PT $ biseca $ B \widehat TS $ e $ P $ è l'intersezione delle due bisettrici.




Per me questo è l'essenziale (sempre dando per scontato che sia corretto, ma quello che più mi importa adesso è la forma), ma se scritto a mano con una figura o due non ci stà in una pagina.

Consigli (di tutti i tipi, non solo riguardo alla lunghezza)?

Grazie !

[Tibor Gallai]

se si cita una qualche nozione, per esempio di geometria elementare, come può essere che in un triangolo rettangolo la mediana dell'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa o che il segmento congiungente due punti medi di due lati di un triangolo è la metà del terzo lato, bisogna dare una giustificazione o va bene così?

Entrambi questi fatti possono essere presi per buoni senza giustificazione. Al criterio Gobbiniano sulle schede olimpiche, puoi aggiungere questo: se l'enunciato è dimostrato nel tuo libro o è un esercizio del tuo libro, puoi darlo per buono. Questo perché gli esercizi dei libri per licei (in questo caso le dimostrazioni di geometria Euclidea) sono di solito conseguenze banali della teoria del libro. Anzi, penso che una buona definizione di "banale conseguenza della teoria" sia "adatto come esercizio da libro per licei".

La forma della tua dimostrazione del Febbraio 2002 mi sembra buona-prolissa (e parlo della forma e non della correttezza), ma trattandosi di un Febbraio va bene così. A Febbraio è sempre meglio dare motivazioni più pedanti di ogni cosa che si usa, perché la commissione che corregge non è quella "centrale", e si sa che non sempre è familiare con lo stile olimpico delle dimostrazioni, ed a volte propensa ad impuntarsi su futilità varie.

Un altro fattore è la qualità del problema: purtroppo esistono problemi dimostrativi di Febbraio che non dovrebbero essere dimostrativi, perché sembrano essere fatti apposta per creare disagi. Alcuni sono "tecnici", non nel senso che la loro soluzione richiede tecniche o teoremi avanzati, ma nel senso che la stessa comprensione del testo (e quindi anche la correzione!) impone una certa "cultura matematica". Poi magari la soluzione non è per niente ingegnosa né difficile né "tecnica" in senso stretto, ma il lettore casuale non necessariamente la capisce in pieno, da cui l'insorgenza dei disagi (gente che crede di averlo risolto e non si convince che la sua dimostrazione è incompleta a livello logico, o correttori che pensano a torto che una dimostrazione sia giusta/sbagliata per una loro cattiva interpretazione di testo/soluzione). Il problema del 2002 è un parziale esempio, già solo per il fatto che è un "sse" (e non una semplice implicazione) tra due concetti non propriamente "maneggevoli". C'è sicuramente di molto peggio, ma per ora non trovo esempi concreti.

Altri problemi sono così banali ed evidenti che è un serio problema stabilire quali teoremi/assiomi usare per risolverli. Ossia, sono problemi la cui difficoltà sta nella formalizzazione della soluzione e non nella sua piena intuizione. Esempio molto calzante: sono dati 2 piani non paralleli che si intersecano in una retta r, ed un punto P su r; su ciascun piano vi è una circonferenza tangente a r in P; dimostrare che esiste una superficie sferica su cui giacciono entrambe le circonferenze.

Insomma, quando un problema è troppo facile, è sempre bene essere prolissi per non dare l'impressione (probabilmente falsa, ma tant'è...) di aver dimenticato qualcosa. In fase nazionale o superiore vai molto più liscio: di solito la commissione non si lascia ingannare da chi bara più o meno consapevolmente, di solito non commette errori madornali su elaborati scritti decentemente, di solito conosce bene le tecniche che i concorrenti useranno, di solito è composta da coloro che hanno concepito e/o selezionato i problemi della gara...

Sulla questione del "ti invitiamo a non usare fogli aggiuntivi": questa condizione esiste solo per i dimostrativi di Febbraio, e penso che il motivo non c'entri con un discorso di prolissità, ma semplicemente con l'esigenza pratica di non perdere i fogli volanti, in un ambiente (ahimè, lo ripeto) non centralizzato e in cui si cerca di garantire un trattamento uniforme dei concorrenti a livello nazionale. Quindi: a Cesenatico e oltre puoi scrivere quanto vuoi, a Febbraio di fatto è a discrezione della commissione locale.

[nature92]

già che ci siamo chiedo una cosa anch'io: bisogna dare per scontato a febbraio che se $ a $ non è divisibile per $ x^n $ allora non è neanche divisibile per x^(n+1) o bisogna dimostrarlo in qualche modo?

[ndp15]

già che ci siamo chiedo una cosa anch'io: bisogna dare per scontato a febbraio che se $ a $ non è divisibile per $ x^n $ allora non è neanche divisibile per x^(n+1) o bisogna dimostrarlo in qualche modo?

Io direi di dimostrarlo

P.S per esempio 54 non divide $ 6^2 $ eppure divide $ 6^3 $

[Gauss91]

P.S per esempio 54 non divide $ 6^2 $ eppure divide $ 6^3 $

nature diceva un'altra cosa: con i numeri che dici tu, quello che dice nature diventa "54 non è divisibile per $ 6^2 $, quindi neanche per $ 6^3 $" (che è vero).
No nature, non dimostrarlo perché è proprio banalissimo.

[ndp15]

P.S per esempio 54 non divide $ 6^2 $ eppure divide $ 6^3 $

nature diceva un'altra cosa: con i numeri che dici tu, quello che dice nature diventa "54 non è divisibile per $ 6^2 $, quindi neanche per $ 6^3 $" (che è vero).
No nature, non dimostrarlo perché è proprio banalissimo.

Ok, torno a studiare italiano e la differenza tra divisibile e divide

[nature92]

perfetto grazie 1000 gauss!! però forse non saprei neanche come dimostrarlo !!

Ok, torno a studiare italiano e la differenza tra divisibile e divide

è studiare troppe lettere che fa male

[Gauss91]

basta che scomponi a e x in fattori primi e il gioco è fatto

[julio14]

È anche indipendente dal fatto che una scomposizione in primi esista...

[Nonno Bassotto]

però forse non saprei neanche come dimostrarlo !!

Suggerimento: inizia dando una definizione di cosa significa che a divide b.

[SkZ]

io ricordo che
$ ~(p\Rightarrow q)\Rightarrow (\bar{q}\Rightarrow\bar{p}) $
(se p implica q allora non-q implica non-p)

[nature92]

in qualche modo: per ipotesi $ x=a^n + k $ con k minore di a^n
se poi supponessimo che $ x=a^(n+1) $ , potremmo sostituire e ottenere $ a^n + k= a^(n+1) $ da cui $ a^n (a-1)= k $ che però va contro al fatto che $ k $ dev'esse minore di $ a^n $ quindi è dimostrato!
p.s. scusate la brutta scrittura ma x^(n+1) con il "TeX" mi viene $ x^(n+1) $

[Gauss91]

per fare quelle cose con il TeX devi usare la graffa: $ x^{n+1} $

[Nonno Bassotto]

@nature92: Non sono sicuro di capire il tuo ragionamento. Reitero il mio suggerimento: cosa vuol dire, dati due numeri a e b, che a divide b? Una volta che rispondi a questa domanda vedrai che la dimostrazione verrà fuori da sola.

[SkZ]

già che ci siamo chiedo una cosa anch'io: bisogna dare per scontato a febbraio che se $ a $ non è divisibile per $ x^n $ allora non è neanche divisibile per x^(n+1) o bisogna dimostrarlo in qualche modo?

riscritto e'
$ ~x^n\not|a \quad\Rightarrow \quad x^{n+1}\not| a $

e vai di dimostrazione per assurdo!